この積分は、部分分数分解で解けばよいのでしょうか？

質問

とある微分方程式を解くと
以下のような積分ができてきました。
解き方がわからず困ってます。

∫((3+u^2)/(u+u^3))du

分母を分解して部分分数分解してとくのでしょうか？
うまくいきません。

分かる方がいたら解答よろしくお願いします。

回答No.1

sakura_214 · ベストアンサー

部分分数展開でやる方法でいいと思います．

u+u^3=u(1+u^2)なので
(3+u^2)/(u+u^3)=A/u+(B+Cu)/(1+u^2)
と展開します．両辺u+u^3をかけると，
3+u^2=A(1+u^2)+(B+Cu)u=A+Bu+(A+C)u^2
→ A=3, B=0, C=-2
となります．よって，
∫(3+u^2)/(u+u^3) du
=∫(3/u-2u/(1+u^2))du
=∫(3/u-(1+u^2)'/(1+u^2))du　（←'はuの微分）
=3*log|u|-log(1+u^2)+const.

お礼

遅くなってすみません。

ありがとうございました。やりかた分かりました。