置換積分の問題

質問

∫1/((2x-√(x^2-3)+3)(√(x^2-3)))dx
この問題でt=(x^2-3)^(1/2)とおいて
dx=t/(2√(t^2-3))dt
としたのですが、これで解けますか？

回答No.2

inara1 · ベストアンサー

√(x^2 - 3) = x - t とおいて両辺を2乗すれば
　　　x^2 - 3 = ( x - t )^2 = x^2 - 2*t*x + t^2
　　　→ x = ( t^2 + 3 )/(2*t)
したがって
　　　dx = ( t^2 - 3 )/(2*t^2)*dt
　　　√(x^2 - 3) = ( t^2 + 3 )/(2*t) - t = -( t^2 - 3 )/(2*t)
　　　2*x - √(x^2 - 3) + 3 = 3*( t + 1 )^2/(2*t)
となって被積分関数は有理化されます。

一般に、√( a*x^2 + b*x + c ) という形が入っている関数の積分は、<a のとき
　　　√( a*x^2 + b*x + c ) = x*√(a) - t
とおくことで有理化できます。

大学演習　微分積分学（p.107） http://www.shokabo.co.jp/mybooks/ISBN978-4-7853-8001-4.htm

お礼

わかりやすい回答ありがとうございます。
このやり方で計算してみます。

回答No.3

info22

#2さんのやり方で少し計算してみると
I=∫(8t^4)/(3(t+1)^2*(3-t^2)(t^2-3))dt
=∫{2(1-2t)/(t^2-3)+12(t-2)/(t^2-3)^2+4/(t+1)-(2/3)/(t+1)^2} dt
=(√3)ln((t-√3)/(t+√3))-2ln(t^2-3)+4ln(t+1)+2(2t-3)/(t^2-3)
+(2/3)/(t+1)) +C
Cは任意定数,ln(*)は自然対数です。

後、t=x-√(x^2-3)を代入して元の変数tに戻せば
求める積分結果↓になります。
I=(√3)ln(((x-√(x^2-3))-√3)/((x-√(x^2-3))+√3))
-2ln((x-√(x^2-3))^2-3)+4ln(-√(x^2-3)+x+1)
+(4(x-√(x^2-3))-6)/((x-√(x^2-3))^2-3)+
(2/3)/(x+1-√(x^2-3)) +C

計算間違いがあるかも知れませんので自分でチェックしてみてください。

お礼

回答ありがとうございます。
早速チェックしてみます。

回答No.1

alice_38

それでは、あまり簡単な式にならない気が。
x = (√3) / cosθ
なんか、どうですか？

お礼

やってみます。