位相についてです

質問

これ解ける人お願いします！

回答No.1

tmpname

ヒント
先ず、(S, O)の、M上への部分位相（相対位相）とは何か、内部とは何かの定義を確認すること。それが分かってなければ当然この問題は解けません。
その上で：
1) （A⊂Mだから A°⊂ Mだから A°∩M = A°なのはまあいいとして）A° = ∪ {P∈O | P⊂A}、(A_M)° = ∪ {P_M∈O_M | P_M⊂A} であるが、O_Mが何だったかをもう一度書いて、

{P∈O | P⊂A} ⊂ {P_M∈O_M | P_M⊂A} （つまり、Q∈ {P∈O | P⊂A} ⇒ Q∈ {P_M∈O_M | P_M⊂A} 、つまり Q∈OかつQ⊂A ⇒ Q∈O_MかつQ⊂A ）
であることを示せ。

2)
例えば S={1, 2, 3} M = {1, 3} A = {1} O = {φ, S, {1,2}}で考えてみよ。