因数分解をせよ x^3+a^3とは？

質問

そのままの意味ですが因数分解をせよ x^3+a^3とはどうやって解くのですか？
そもそも
展開せよと因数分解せよはどうやって見分けるものなのですか？
他にもよく皆さんが考える数学用語があれば見分け方教えてください

回答No.7

noname#222520 · ベストアンサー

x^3+a^3において、x=-aとすると、x^3+a^3=(-a)^3+a^3=-a^3+a^3=0
よって、x^3+a^3はx+aを因数にもちます。（x+aで割り切れます。）
実際にこの割り算をすると、x^3+a^3=(x+a)(x^2-ax+a^2)
（因数でくくるから因数分解です。）
ここで、x^2-ax+a^2=0とおいて、これをxについての2次方程式であるとすると、
判別式D=a^2-4a^2=-3a^2
よって、a＝0とするとx^3=x^3となり、a≠0であればD＜０であるから、x^2-ax+a^2は実数の範囲で因数分解できないことになります。
なお、x^3+a^3→(x+a)(x^2-ax+a^2)の向きの流れが因数分解で、
この逆の(x+a)(x^2-ax+a^2)→x^3+a^3の向きの流れが展開です。
また、f(x)=x^3+a^3とおいて、f(-a)=0となることから、x^3+a^3がx+aを因数にもつという考え方を、因数定理といいます。

回答No.8

noname#252159

No.3です。
私のミスです。因数分解できますね。(-_-;)

回答No.6

f272

> 展開せよと因数分解せよはどうやって見分けるものなのですか？

見分けるものではありません。問題に書いてあるとおりに式を変形するのです。
展開せよとあれば展開するし，因数分解せよとあれば因数分解をするのです。

回答No.5

asuncion

ああ、できますね。これは失礼。
(x + a)(x^2 - xa + a^2)

回答No.4

info222_

>そのままの意味ですが因数分解をせよ x^3+a^3とはどうやって解くのですか？

(x+a)^3=(x+a)(x+a)^2
=(x+a)(x^2+2ax+a^2)
=(x+a)(x^2+a^2+2ax)
=(x+a)(x^2+a^2)+2ax(x+a)
=(x^3+a^3)+3ax(a+x)
従って
x^3+a^3=(x+a)^3-3ax(x+a)
=(x+a)((x+a)^2-3ax)
=(x+a)(x^2-ax+a^2) ... (答)

>展開せよと因数分解せよはどうやって見分けるものなのですか？

・展開せよ。
⇒カッコのない式にして式を見やすい順に並べること。

。因数分解せよ。
⇒式を割り切ることができるすべての因数の積に分解すること。

回答No.3

noname#252159

No.1さんと同じで、×∧3 - a∧3 でしたら、実数の範囲で因数分解が可能です。
[展開]
乗法の形をしている式を和の形に 変形すること
○x△→ □+▼
[因数分解]
和の形をしている式を積の形にすること
口+▽→◎xΔ
上の→は実際は等号= です。
≪見分け方≫
式を見て項が加法でつながっていたら、既に展開済みであるので、やるとしたら因数分解。
式を見て(カッコ)などで乗法でつながっていたら(実際はかける×の記号が省かれているのだが)、既に因数分解済みであるのだから、やるとしたら展開です。

回答No.2

noname#229433

高校はかなり昔だっだのでよく覚えていませんが、

>展開せよと因数分解せよはどうやって見分けるものなのですか？
展開は（）カッコの形になっていて、因数分解はa^2+B^2とかの途中で＋、－の符号が付いています。
＞x^3+a^3
＝(x+a)(x^2-xa+a^2)
だと思います。
なぜか（）の中にーがで出来ますが、
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)の公式にそのまま、その変数を入れ替えるだけで解けます。

回答No.1

asuncion

x^3 - a^3
ならば因数分解できそうですが…。

展開とは、因数分解してある状態から因数分解していない状態にすること。
(x + y)(x - y)からx^2 - y^2にすること ← これが展開
因数分解はその逆
x^2 - y^2から(x + y)(x - y)にすること ← これが因数分解