常微分方程式の問題で、数列との応用問題です。

質問

常微分方程式の問題です。
添付画像の問題を回答願いたいです。
パソコン打ち込みで数式を綺麗に表示できなかったので画像で失礼します。

(5-1)(5-2)両方願います。
詳しい回答・解説をつけていただけるとありがたいです。

よろしくお願いします。

回答No.2

上野 尚人（@uenotakato） · ベストアンサー

(5.1) は先に回答された方のとおりです。

(5.2)
{x(n+1) - x(n)} / Δt + x(n) - 2 = 0 変形して
x(n+1) - 2 = (1-Δt) { x(n) - 2 } 等比数列なので
x(n) - 2 = { x(0) - 2 } × (1-Δt)^n
= (-1) × (1-Δt)^[{ t(n) - t(0) } / Δt]
= (-1) × {(1-Δt)^Δt}^t (Δt→+0の極限をとると)
x - 2 = (-1) × e^(-t)
∴ x = 2 - e^(-t)
これは (5.1) の解と一致する。

お礼

回答ありがとうございます！

全く手がつかなかった問題が理解できました！

回答No.1

178-tall

(5. 1)
　dx/(2-x) = dt
　　　↓ 変数分離
　-LN(2-x) = t + c
　2-x = e^-(t + c)
　x = 2 - Ce^(-t)
　　　↓ 初期条件 (x0 = 1) → C = 1
　x = 2 - e^(-t)

… かな？

(5. 2)
　x(n+1) = x(n) + { 2 - x(n) } dt

お礼

解答ありがとうございます！