与式は１階線形常微分方程式 dy/dx ＋p(x)y ＋q(x)＝0 に変形できます．
与えられた１階非線形常微分方程式：
yy'＋y^2＝x^2(sinx)/y
は，右辺の x^2(sinx)/y を [x^2(sinx)]/y であると解釈して変形すると，
y^2y'＋y^3＝x^2(sinx)
と書けます．y≠0 であるとして，計算してみます．
計算を列挙しますので，読み取って下さい．
(1/3)(y^3)'＋y^3＝x^2(sinx)
z＝y^3
と置くと，
z'＝(y^3)'＝3y'y^2
(z'/3)＋z＝x^2(sinx)
z'＋3z＝3x^2(sinx)
z'＋3z＝3x^2(sinx)
１階線形常微分方程式の一般解は，
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１階線形常微分方程式 dy/dx ＋ p(x)y ＋ q(x) ＝ 0．
一般解は，（ c は積分定数 ）
y＝{exp(－∫p(x)dx)}[c－∫{q(x)・exp(∫p(x) dx)} dx]
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です．いまの場合，
p(x) ＝ 3
q(x) ＝ －3x^2(sinx)
ですから，
z＝{exp(－∫3dx)}[c－∫{(－3x^2(sinx))・exp(∫3dx)} dx]
z＝{exp(－3x)}[c－∫{(－3x^2(sinx))・exp(3x)} dx]
z＝{exp(－3x)}[c ＋3∫(x^2)・(sinx)・exp(3x) dx]
z＝y^3 により，y は，
y^3＝{exp(－3x)}[c ＋3∫(x^2)・(sinx)・exp(3x) dx]
y＝[{exp(－3x)}[c ＋3∫(x^2)・(sinx)・exp(3x) dx]]^(1/3)
ここで，
y＝u^(1/3)
とおくと，
u＝{exp(－3x)}[c ＋3∫(x^2)・(sinx)・exp(3x) dx]
y'＝(1/3)u'u^(1/3 －1)＝(1/3)u'u^(－2/3)
y^2y'＋y^3＝x^2(sinx)
u^(2/3)(1/3)u'u^(－2/3)＋u＝x^2(sinx)
(1/3)u'＋u＝x^2(sinx)
u'＝{exp(－3x)}[c ＋3∫(x^2)・(sinx)・exp(3x) dx]
u'＝{exp(－3x)}'[c ＋3∫(x^2)・(sinx)・exp(3x) dx]
＋{exp(－3x)}[c ＋3∫(x^2)・(sinx)・exp(3x) dx]'＝
u'＝{－3exp(－3x)}[c ＋3∫(x^2)・(sinx)・exp(3x) dx]
＋{exp(－3x)}[3(x^2)・(sinx)・exp(3x)]＝
u＝{exp(－3x)}[c ＋3∫(x^2)・(sinx)・exp(3x) dx]
(1/3)u'＋u＝
＝－{exp(－3x)}[c ＋3∫(x^2)・(sinx)・exp(3x) dx]
＋{exp(－3x)}[(x^2)・(sinx)・exp(3x)]
＋{exp(－3x)}[c ＋3∫(x^2)・(sinx)・exp(3x) dx]
(1/3)u'＋u＝{exp(－3x)}[(x^2)・(sinx)・exp(3x)]
(1/3)u'＋u＝(x^2)・(sinx)
となりますので，
y＝[{exp(－3x)}[c ＋3∫(x^2)・(sinx)・exp(3x) dx]]^(1/3)
が一般解であることが証明されました．c は積分定数です．不定積分：∫(x^2)・(sinx)・exp(3x) dx は，初等関数で表現できるようですが，私の計算では，うまくゆかなかってので，仕方なく，数式計算処理ソフト，
WolframAlpha Computational Knowledge Engine
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http://www.wolframalpha.com/ ・・・ 数式計算処理ソフト
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を使用して計算させてみました．上記の数式計算処理ソフトをダブルクリックして，
yy'+y^2=(x^2(sinx))/y
を入力し，〓 を押すと，計算結果が表示されます．それによると，
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Copyable plaintext:
y(x) = -1/5 (-1/2)^(1/3) (250 c_1 e^(-3 x)
+3((75 x^2-40 x+9) sin(x)+(-25 x^2+30 x-13) cos(x)))^(1/3)
Mathematica plaintext input:
DSolve[{y[x]^2 +y[x] y'[x]==(x^2 Sin[x])/y[x]}, y[x], x]
Mathematica plaintext output:
{y[x] == -((-1/2)^(1/3) (3 ((-13 + 30 x - 25 x^2) Cos[x]
+ (9 - 40 x + 75 x^2) Sin[x])
+ (250 Subscript[c, 1])/E^(3 x))^(1/3))/5, y[x]
==(3((-13 +30 x -25 x^2)Cos[x] +(9 -40 x +75 x^2) Sin[x])
+ (250 Subscript[c, 1])/E^(3 x))^(1/3)/(5 2^(1/3)), y[x]
== ((-1)^(2/3) (3 ((-13 + 30 x - 25 x^2) Cos[x]
+ (9 - 40 x + 75 x^2) Sin[x])
+ (250 Subscript[c, 1])/E^(3 x))^(1/3))/(5 2^(1/3))}
Copyable plaintext:
y(x) = (250 c_1 e^(-3 x)+3 ((75 x^2-40 x+9) sin(x)
+(-25 x^2+30 x-13) cos(x)))^(1/3)/(5 2^(1/3))
Mathematica plaintext input:
DSolve[{y[x]^2 +y[x] y'[x]==(x^2 Sin[x])/y[x]}, y[x], x]
Mathematica plaintext output:
{y[x] == -((-1/2)^(1/3) (3 ((-13 + 30 x - 25 x^2) Cos[x]
+ (9 - 40 x + 75 x^2) Sin[x])
+ (250 Subscript[c, 1])/E^(3 x))^(1/3))/5, y[x]
==(3((-13 +30 x -25 x^2)Cos[x] +(9 -40 x +75 x^2)Sin[x])
+ (250 Subscript[c, 1])/E^(3 x))^(1/3)/(5 2^(1/3)), y[x]
== ((-1)^(2/3) (3 ((-13 + 30 x - 25 x^2) Cos[x]
+ (9 - 40 x + 75 x^2) Sin[x])
+ (250 Subscript[c, 1])/E^(3 x))^(1/3))/(5 2^(1/3))}
Copyable plaintext:
y(x)=((-1)^(2/3) (250 c_1 e^(-3 x)+3((75 x^2-40 x+9)sin(x)
+(-25 x^2+30 x-13) cos(x)))^(1/3))/(5 2^(1/3))
Mathematica plaintext input:
DSolve[{y[x]^2 +y[x] y'[x]==(x^2 Sin[x])/y[x]}, y[x], x]
Mathematica plaintext output:
{y[x] == -((-1/2)^(1/3) (3 ((-13 +30 x -25 x^2) Cos[x]
+ (9 - 40 x + 75 x^2) Sin[x])
+ (250 Subscript[c, 1])/E^(3 x))^(1/3))/5, y[x]
==(3 ((-13 +30 x -25 x^2) Cos[x] +(9 -40 x +75 x^2)Sin[x])
+ (250 Subscript[c, 1])/E^(3 x))^(1/3)/(5 2^(1/3)), y[x]
==((-1)^(2/3) (3 ((-13 + 30 x - 25 x^2) Cos[x]
+ (9 - 40 x + 75 x^2) Sin[x])
+ (250 Subscript[c, 1])/E^(3 x))^(1/3))/(5 2^(1/3))}
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になります．複雑で，わけが分からないでしょうが，私が計算した証拠として貼り付けておきました．
実際に，数式計算処理ソフトを起動してから計算させ，表示される画面を見ればご理解できると思います．
