常微分方程式について

質問

yy'+y^2=x^2(sinx)/y　のODEを解け。

という常微分方程式が問題であったのですが、解答の所には略解としか書いておらず、どうやって解けばいいかの方針がわかりません。どのように解けばいいでしょうが。よろしくお願いします。

回答No.3

Knotopolog · ベストアンサー

与式は１階線形常微分方程式　dy/dx ＋p(x)y ＋q(x)＝0　に変形できます．

与えられた１階非線形常微分方程式：

yy'＋y^2＝x^2(sinx)/y

は，右辺の x^2(sinx)/y を [x^2(sinx)]/y であると解釈して変形すると，

y^2y'＋y^3＝x^2(sinx)

と書けます．y≠0 であるとして，計算してみます．
計算を列挙しますので，読み取って下さい．

(1/3)(y^3)'＋y^3＝x^2(sinx)

z＝y^3

と置くと，

z'＝(y^3)'＝3y'y^2

(z'/3)＋z＝x^2(sinx)
z'＋3z＝3x^2(sinx)

z'＋3z＝3x^2(sinx)

１階線形常微分方程式の一般解は，
-----------------------------------------------
１階線形常微分方程式 dy/dx ＋ p(x)y ＋ q(x) ＝ 0．
一般解は，（ c は積分定数 ）
y＝{exp(－∫p(x)dx)}[c－∫{q(x)・exp(∫p(x) dx)} dx]
---------------------------------------------------
です．いまの場合，

p(x) ＝ 3
q(x) ＝ －3x^2(sinx)

ですから，

z＝{exp(－∫3dx)}[c－∫{(－3x^2(sinx))・exp(∫3dx)} dx]

z＝{exp(－3x)}[c－∫{(－3x^2(sinx))・exp(3x)} dx]

z＝{exp(－3x)}[c ＋3∫(x^2)・(sinx)・exp(3x) dx]

z＝y^3　により，y は，

y^3＝{exp(－3x)}[c ＋3∫(x^2)・(sinx)・exp(3x) dx]

y＝[{exp(－3x)}[c ＋3∫(x^2)・(sinx)・exp(3x) dx]]^(1/3)

ここで，

y＝u^(1/3)

とおくと，

u＝{exp(－3x)}[c ＋3∫(x^2)・(sinx)・exp(3x) dx]

y'＝(1/3)u'u^(1/3 －1)＝(1/3)u'u^(－2/3)

y^2y'＋y^3＝x^2(sinx)

u^(2/3)(1/3)u'u^(－2/3)＋u＝x^2(sinx)

(1/3)u'＋u＝x^2(sinx)

u'＝{exp(－3x)}[c ＋3∫(x^2)・(sinx)・exp(3x) dx]

u'＝{exp(－3x)}'[c ＋3∫(x^2)・(sinx)・exp(3x) dx]
＋{exp(－3x)}[c ＋3∫(x^2)・(sinx)・exp(3x) dx]'＝

u'＝{－3exp(－3x)}[c ＋3∫(x^2)・(sinx)・exp(3x) dx]
＋{exp(－3x)}[3(x^2)・(sinx)・exp(3x)]＝

u＝{exp(－3x)}[c ＋3∫(x^2)・(sinx)・exp(3x) dx]

(1/3)u'＋u＝
＝－{exp(－3x)}[c ＋3∫(x^2)・(sinx)・exp(3x) dx]
＋{exp(－3x)}[(x^2)・(sinx)・exp(3x)]
＋{exp(－3x)}[c ＋3∫(x^2)・(sinx)・exp(3x) dx]

(1/3)u'＋u＝{exp(－3x)}[(x^2)・(sinx)・exp(3x)]

(1/3)u'＋u＝(x^2)・(sinx)

となりますので，

y＝[{exp(－3x)}[c ＋3∫(x^2)・(sinx)・exp(3x) dx]]^(1/3)

が一般解であることが証明されました．c　は積分定数です．不定積分：∫(x^2)・(sinx)・exp(3x) dx は，初等関数で表現できるようですが，私の計算では，うまくゆかなかってので，仕方なく，数式計算処理ソフト，

WolframAlpha Computational Knowledge Engine
------------------------------------------------------
http://www.wolframalpha.com/ 　・・・ 数式計算処理ソフト
------------------------------------------------------

を使用して計算させてみました．上記の数式計算処理ソフトをダブルクリックして，

yy'+y^2=(x^2(sinx))/y

を入力し，〓　を押すと，計算結果が表示されます．それによると，

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Copyable plaintext:
y(x) = -1/5 (-1/2)^(1/3) (250 c_1 e^(-3 x)
+3((75 x^2-40 x+9) sin(x)+(-25 x^2+30 x-13) cos(x)))^(1/3)

Mathematica plaintext input:
DSolve[{y[x]^2 +y[x] y'[x]==(x^2 Sin[x])/y[x]}, y[x], x]

Mathematica plaintext output:
{y[x] == -((-1/2)^(1/3) (3 ((-13 + 30 x - 25 x^2) Cos[x]
+ (9 - 40 x + 75 x^2) Sin[x])
+ (250 Subscript[c, 1])/E^(3 x))^(1/3))/5, y[x]
==(3((-13 +30 x -25 x^2)Cos[x] +(9 -40 x +75 x^2) Sin[x])
+ (250 Subscript[c, 1])/E^(3 x))^(1/3)/(5 2^(1/3)), y[x]
== ((-1)^(2/3) (3 ((-13 + 30 x - 25 x^2) Cos[x]
+ (9 - 40 x + 75 x^2) Sin[x])
+ (250 Subscript[c, 1])/E^(3 x))^(1/3))/(5 2^(1/3))}

Copyable plaintext:
y(x) = (250 c_1 e^(-3 x)+3 ((75 x^2-40 x+9) sin(x)
+(-25 x^2+30 x-13) cos(x)))^(1/3)/(5 2^(1/3))

Mathematica plaintext input:
DSolve[{y[x]^2 +y[x] y'[x]==(x^2 Sin[x])/y[x]}, y[x], x]

Mathematica plaintext output:
{y[x] == -((-1/2)^(1/3) (3 ((-13 + 30 x - 25 x^2) Cos[x]
+ (9 - 40 x + 75 x^2) Sin[x])
+ (250 Subscript[c, 1])/E^(3 x))^(1/3))/5, y[x]
==(3((-13 +30 x -25 x^2)Cos[x] +(9 -40 x +75 x^2)Sin[x])
+ (250 Subscript[c, 1])/E^(3 x))^(1/3)/(5 2^(1/3)), y[x]
== ((-1)^(2/3) (3 ((-13 + 30 x - 25 x^2) Cos[x]
+ (9 - 40 x + 75 x^2) Sin[x])
+ (250 Subscript[c, 1])/E^(3 x))^(1/3))/(5 2^(1/3))}

Copyable plaintext:
y(x)=((-1)^(2/3) (250 c_1 e^(-3 x)+3((75 x^2-40 x+9)sin(x)
+(-25 x^2+30 x-13) cos(x)))^(1/3))/(5 2^(1/3))

Mathematica plaintext input:
DSolve[{y[x]^2 +y[x] y'[x]==(x^2 Sin[x])/y[x]}, y[x], x]

Mathematica plaintext output:
{y[x] == -((-1/2)^(1/3) (3 ((-13 +30 x -25 x^2) Cos[x]
+ (9 - 40 x + 75 x^2) Sin[x])
+ (250 Subscript[c, 1])/E^(3 x))^(1/3))/5, y[x]
==(3 ((-13 +30 x -25 x^2) Cos[x] +(9 -40 x +75 x^2)Sin[x])
+ (250 Subscript[c, 1])/E^(3 x))^(1/3)/(5 2^(1/3)), y[x]
==((-1)^(2/3) (3 ((-13 + 30 x - 25 x^2) Cos[x]
+ (9 - 40 x + 75 x^2) Sin[x])
+ (250 Subscript[c, 1])/E^(3 x))^(1/3))/(5 2^(1/3))}
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になります．複雑で，わけが分からないでしょうが，私が計算した証拠として貼り付けておきました．

実際に，数式計算処理ソフトを起動してから計算させ，表示される画面を見ればご理解できると思います．

回答No.4

alice_44

不定積分 ∫(xの2乗)(sin x)(exp 3x)dx の計算は、
オイラーの関係式 sin x = ((exp ix)-(exp -ix))/(2i)
を代入してから、部分積分を二回行えばできるよ。

回答No.2

WiredLogic

＞yy'+y^2=x^2(sinx)/y　のODEを解け。

何か工夫が要りそうな雰囲気だなぁ、ということで、
とりあえず、右辺の「/y]が気になるので
(何か半端だなぁ、と、逆にyで割って(x/y)^2を
使う道を考えてみたけど、うまい手が出なかった)、
試しに、両辺にyをかけると、

(y^2)y' + y^3 = (x^2)sinx

あ～、これは、(y^3)' = 3(y^2)y' が使えるぞ、

(1/3)(y^3)' + y^3 = (x^2)sinx

y^3 = u とおいて、

u' + 3u = 3(x^2)sinx

にすれば、できた！という感じかと。

回答No.1

Tacosan

最悪定数変化法で解けそう.