移動点の問題です。解答願います。

質問

図（添付写真）の平面上３点A、B、CはAB＝BC、∠ABC＝90°を満たす定点とする。
動点Xが、平面上を以下の条件a),b)の下で自由に動く。
a)線分AB上以外での移動の速さは一定である。

b)線分AB上での移動の速さは、その他の場所での移動の速さのｐ倍（ｐはp>1を満たす定数）である。
同点Xが、点Aから点Cに最短時間で移動する経路について以下の問いに答えよ。

(1)p=2のときの最短時間の経路を求めよ。

(2)線分ACが最短時間の経路とならないためのpの条件を求めよ。

解答・解説願います。
よろしくお願いします。

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

p>1, AB=BC=a,
AB以外の移動速度をv(一定)とすると
AB上の移動速度=pv=2v(一定)
２点間の移動時間は速度一定の場合、移動時間は移動距離を速度で割れば得られる。移動時間の最小値は移動経路がが最短の時であるから、最短時間の経路がAB上のAからlだけ進んだ位置Dを経由するとすれば
最短時間の経路はAD+DCの経路の最小値経路となる。
移動時間T=(AD+DC)の移動時間
=l/(pv)+{√((a-l)^2+a^2)}/v (p>1,0≦l≦a)
dT/dl=1/(pv)+(a-l)/{v√(a^2+(a-l)^2)}
グラフをf(l)=T(l)のグラフを描くようにしてみてください。
Tが最小となるのはグラフからdT/dl=0の時であるから
1/(pv)+(a-l)/{v√(a^2+(a-l)^2)}=0
1/p+(a-l)/√(a^2+(a-l)^2)=0, (p>1, 0≦l≦a)
p(a-l)=√(a^2+(a-l)^2)
p^2・(a-l)^2=a^2+(a-l)^2
(p^2-1)(a-l)^2=a^2
a-l=a/√(p^2-1)
l=a-a/√(p^2-1)　...(※)

(1)
p=2の時の最短時間の経路は
AD=l=a-a/√3=a(3-√3)/3={(3-√3)/3} AB
の時の経路AD+DCとなります。
ここで
AD=(3-√3)/3} AB
DC=√(a^2+(a-l)^2)={√(1+(1-(3-√3)/3)^2}AB
={√(1-(2√3-1)/3}AB={2(2-√3)/3}AB

(2)
最短時間経路がAC=(√2)ABとならないための条件は
(※)の式のlが以下の条件を満たせばよい。
AD=l＞0
a-a/√(p^2-1)>0
a=AB>0なので1>1/√(p^2-1)
p^2-1>1
p^2>2
p>1より
p>√2 ... (2)の(答)

お礼

ありがとうございます！
全然わからなかった問題が、理解できました！