広義二重積分の問題を教えてください。

質問

問題を写真の通りです、詳しい解答方法をお願いします
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回答No.1

info222_ · ベストアンサー

x=r*cos(s),y=r*sin(s)とおいて置換積分すると
I=lim(n→∞) ∫∫[Dn] tan^-1(y/x) dxdy
=lim(n→∞) ∫∫[Dn] s r dsdr
=lim(n→∞) ∫[1/n,1] rdr ∫[0,π/2-1/n] s ds
=lim(n→∞) ∫[1/n,1] rdr {[s^2/2] [0,π/2-1/n]}
=lim(n→∞) ∫[1/n,1] rdr {(π/2-1/n)^2/2}
=lim(n→∞) {(π/2-1/n)^2/2}∫[1/n,1] rdr
=lim(n→∞) {(π/2-1/n)^2/2} {[r^2/2][1/n,1]}
=lim(n→∞) {(π/2-1/n)^2/2} (1/2){1-(1/n)^2}
=(1/16) lim(n→∞) {(π-2/n)^2} (1-1/n)(1+1/n)
=π^2/16 ... (答)