線積分について

質問

線積分で、A、drをベクトルとして∫c A・dr　は仕事を意味しますが、∫c A×drは何を意味するのでしょうか。トルクで考えようと思ったのですが、よく分かりませんでした。どなたか教えてください。

回答No.1

noname#221368 · ベストアンサー

積分∫c A×drは数学的に定義できますし、曲線ｃ上に作用するトルクの合計という意味になると思いますが、物理的には余り使い道はないようです。でも次の関係は、とても使い出があります。ご存知かも知れませんが、ストークスの定理、

　　∬(rot×Ａ)・ds＝∫Ａ・dc　　　　(1)

です。

　∬は、3次元空間内の閉曲面Ｓでの面積分，dsはＳの面素ベクトル、∫はＳの境界である閉曲線ｃにおける線積分，dcはｃの線素です。「×」が関係する場合、どうもグルグル回るという事が重要らしく、たいてい閉曲線に沿う線積分が重要になります。

　流体力学の方では(1)を、ｃ上の循環（ｃ上に流れる渦成分の流量）は、ｃ内の渦度（＝渦強度＝トルク？）の合計と読みます。完全に同じ物理モデルではないですけど、イメージとしてはどうでしょう？。

お礼

回答ありがとうございました。参考になりました。