- みんなの回答 （6）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
- ベストアンサー
円が決まる条件は、中心（の座標）と半径（の長さ）が与えられることの2点である。 異なる2点AとBを考え、この2点が同一円周上にあるとする。 線分ABの垂直二等分線を引き、線分ABとこの垂直二等分線の交点をH、この垂直二等分線上の任意の点をPとすると、 直角三角形PAHと直角三角形PBHにおいて、AH=BH、PHは共通、∠PHA=∠PHB=90° よって、直角三角形PAHと直角三角形PBHは、2辺とその間の角がそれぞれ等しく合同であり、対応する辺の長さは等しく、PA=PB 第三の点Cを考え、同様に線分ACの垂直二等分線を引き、この垂直二等分線上の任意の点をQとすると、QA=QC 以上から、線分ABの垂直二等分線と線分ACの垂直二等分線の交点をOとすると、OA=OB=OCとなり、この点Oが円の中心、半径はOA=OB=OCとなって、円は一意的に決まる。
その他の回答 (5)
#5です。いやぁ～、ごちゃごちゃ書きましたが#3さんがお薦めめなのに気づきました(^^;)。 #3さんの結論と、「円の定義」を合体させると？・・・(^^)。
こういうどう考えても当然の事は逆に証明が難しいのですが、当然と思える根拠をごり押しして表現すると、話が早い気がします。 ［ごりごりの定性論］ まず「円の定義」に戻ります。円とは「一定点から等距離にある点の集合」の事。一定点をAとし、等距離をrとします。この条件を満たす円をSとします。 Aから距離rに点Bを取ります。「円の定義」からBは、S上にあります。同様にAから距離rに別の点Cを取ります。CもS上にあります。 2辺挟角から、S上にあるB，Cの位置を定めれば、等辺（AB＝AC）の長さrの不定性を除いてAの位置は、S上にあるB，Cの位置から決定できるので、B，Cを設ける事は、円の中心Aを定める事と同等です。 次に△CADが2等辺三角形で、AC＝ADになるように点Dを取ります。これは明らかに可能です。 一般に、AD＝ACだからと言ってAC＝ABになるとは限りませんが、AC＝ABという条件が先に付いているので、AD＝AC＝ABであり、DのAからの距離は、B，Cの位置を決めれば一意にrと決まります。 これは距離rを定めた事と同等です。またDは明らかにS上にあります。従って、3点を通る円は一意に決まります。 以上はかなり省略してます。もし質問が学校の問題であれば、上記だけではたぶん×を食らうでしょう(^^;)。行間は埋めて下さい。 ［ごりごりの計算で・・・(^^;)］ 円の方程式が、 (x－a)^2＋(y－b)^2＝r^2 (1) というのはご存知ですよね？。(1)で不定なのは、円の中心座標(a，b)と半径rです。つまり未知数が3つなら、条件が3つあれば、a，b，rは決定可能です。 (1)の円周上に点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)があったとして、(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)を(1)に代入して、3元連立2次方程式をa，b，rについて解き、a，b，rをx1，y1，x2，y2，x3，y3で表した時に、その表現が一意的なら、それが答えです。 もちろん非常に面倒臭い計算になり、非常に面倒臭い場合分けが出現するかも知れませんが、基本は2次方程式なので、やりゃ～必ず出来ます(^^;)。
ANo.1の補足です。 回答中に、「線分ABの垂直二等分線と線分ACの垂直二等分線の交点をOとすると」とあるように、交点Oが存在する、つまりは3点が一直線上にはないという前提で回答しています。 質問の趣旨からも、これは常識に判断できるでしょう。 質問には「3点を通る円」とあって、円として考えることが前提です。
- 178-tall
- ベストアンサー率43% (762/1732)
>3点を通る円は一意的に決まるか… 3 点が相異なるとして … 一直線上になければ？ その 3 点を頂点とする三角形の外心は、3 点から等距離にある。 つまり、三角形の外接円の中心はその外心。 … だとすると？
- info222_
- ベストアンサー率61% (1053/1707)
一意的に決まりません。 ３点の内、少なくとも２点が一致すれば、半径が一意的に決まらないので、 円が一意的に決まりません。 ３点が異なる点であっても、３点が一直線上にあるときは、円の半径や円の中心が決まらないので、円が一意的に決まりません。
補足
この問題は場合分けによる回答を求めているようです。