クラメールのパラドックス、独立な5点を通る二次曲線は一意に定まる

質問

クラメールのパラドックス、独立な5点を通る二次曲線は一意に定まる

http://ja.wikipedia.org/wiki/クラメールのパラドックス
に書いてあることから疑問に思ったことがあります。

一般に、「独立」な5点を通る二次曲線は一意に定まります。
ただし、「独立」の意味は次のようになります。

Ax^2+By^2+Cxy+Dx+Ey+F=0
に5点の座標を代入した5つの方程式を考えます。その係数行列のサイズは 5×6 です。もし、この行列の階数が 5 ならば、解空間の次元は 1 となって二次曲線が一意に定まります。

その条件の幾何学的な解釈をぜひ知りたいのです。
平面上に5点が与えられたとき、それらの座標を設定することなく、何らかの図的なイメージで「独立」かどうかを判断したいのです。

たとえば、次のような解釈です。

「独立」な2点を通る一次曲線は一意に定まる。
「独立」な2点とは、異なっていること。

「独立」な3点を通る円は一意に定まる。
「独立」な3点とは、それを頂点とする三角形ができること。
つまり、3点は相異なっていて、かつ、同一直線上にないこと。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

図形的に捉え易いかどうかはともかく…

n 次曲線を定める「独立な」n(n+3)/2 点とは、
その中から任意に取り出した (n-1)(n+2)/2 + 1 点が
同一の n-1 次曲線上には無いことを言います。

貴方の挙げた二つの例も、No.1 も、
これに当てはまりますね。

お礼

まことにありがとうございます。
そういうことでしたら、
2次曲線を定める「独立な」5点は幾何学的に判断できますが、
3次曲線を定める「独立な」9点の幾何学的な判断は困難そうですね。

もしできれば、
n 次曲線を定める「独立な」n(n+3)/2 点とは、
その中から任意に取り出した (n-1)(n+2)/2 + 1 点が
同一の n-1 次曲線上には無いこと
の説明(もしくはサイト紹介)をお願いできれば助かります。

補足

http://www.300000.net/contents/conic.html

で実験したところ、

相異なる5点は、2次曲線(2つの直線を含む)を定める

相異なる5点のどの3点も同一直線上にない5とき、既約2次曲線を定める

と思います。

平面上に相異なる4点を与えたとき、5点目とで定まる2次曲線が楕円であるような領域をイメージできるような便利な方法があればいいなと思いました。
反対の領域は双曲線を定めますが、その領域の境界にも興味あります。

平面上の6点が同一2次曲線上にあるかを幾何学的に判定する方法は、パスカルの定理が成立するかどうかだと思いますが、平面上の10点が同一3次曲線上にあるかを幾何学的に判定する方法は何かが気になります。

回答No.1

mnakauye

平面上に5点が与えられたとき、それらの座標を設定することなく、何らかの図的なイメージで「独立」かどうかを判断したいということですが、そもそも「独立な点」というのは何でしょうか。

　平面状で考えていますから、解答は、そのうちのどの任意の３点も一直線上に無いということでしょう。

点の数がいくつであれ、ｎ個の点からなる図形は、すべて３角形に分割できますから、この定義で問題なくなりますね。

　つまり、ｍ個の点があって、それらはすでに独立であるとします。もう１点加わったときに、元にある
ｍ個の点とつないで３角形ができるということです。

　あなたが３点について書いておられるのを、一般化された概念でしょう。

　ｍ＋１個の点から任意の３点を選んだときに、3点は相異なっていて、かつ、同一直線上にないこと。

ということでしょう。

　私はそんなイメージを持っているのですが。・・・・・

　ちなみに、点の数が１，２のときは、「独立な点」という概念は、

２次元世界（平面）では、正確に言うと存在しないのでは？？？