このような関数は一意に決まる？

質問

三角関数や指数関数が含まれると、整式で表されたものと違い、
f(x)=xsinx　は　f"(x)=-f(x)+2cosx
f(x)=e^x　は　f"(x)=f'(x)=f(x)
といったように、導関数や高次導関数にもとの関数がそのまま含まれたりすることがありますよね。

このような性質を利用して、例えば
f(x)=2cosx-f"(x)、f(0)=0,f'(x)=1 などと与えられたら、
f(x)=xsinxだな、というのは勘でわかると思うのですが、上のような式だけで本当に一意にf(x)が求まるのか、また、一意性が確かならそれをどういった言葉で示せばいいのか、混乱してしまいました。
どうかご教示願います。
（経緯）
微分方程式を解いていて、「これが関数と導関数の"積"でなく"和"で与えられたら解けるのか？」と思ったのが発端です。
上のような形を「解く」手段は高校数学までの範囲では与えられていないので、「勘」と「一意性の証明」で必要十分な解答にするしかないと思うのですが…

回答No.1

ojisan7 · ベストアンサー

>f(x)=2cosx-f"(x)、f(0)=0,f'(x)=1 などと与えられたら、
>f(x)=xsinxだな、というのは勘でわかると思うのですが

これは微分方程式ですね。微分方程式は高校では教えていないようですから、このような問題は解く必要がありません。「勘」は数学には必要ですが、解答には使えませんね。また、「一意性の証明」は解析学の知識が必要なため大学生でも難しいのではないでしょうか。

>「これが関数と導関数の"積"でなく"和"で与えられたら解けるのか？」

解けますよ。でも、この問題は、大学生になってから考えて下さい。

補足

質問の中心とは違う所ですが、
f'(x)=1というのは打ち間違いでした。f'(0)=0と書いているつもりでした。

以下本題です
微分方程式の問題として解けるのですね。大学受験の問題集や参考書では変数分離形, １階線形の物を「とりあえず解く」事しかしないので、今回の話題が微分方程式に繋がるとも認識できませんでした。
「解く」にしても「勘を証明する」にしても高校数学では無理なのですね。
受験には必要無いんだと思うことにします。ありがとうございました。

回答No.3

rabbit_cat

微分方程式の解が一意的に決まる条件は、「リプシッツ条件」って呼ばれていますが、まあ、大学に行けば習うでしょう。

お礼

解が一意に決まる条件を記述する方法もあるのですね。
大学で習うのを楽しみにすることにします。ありがとうございました。

回答No.2

normr_iset

要するに微分方程式の解は一意的に決まるか・・という質問のようですから。
答えは一意的に決まります。
積分定数は和なのか、積なのか、あるいは別の形になるのかで、関数は異なりますので、直感は大事ですが、微分方程式は丁寧に解いた方がよい。

お礼

ありがとうございました。