集合の一意性

質問

整数を元とする二つの集合Ａ、Ｂについて、

　Ｂ、Ｃ、Ｄがgiven
Ａ∩Ｂ＝Ｃ
　Ａ∪Ｂ＝Ｄ

のときＡが一意に決まる、のはベン図を描いてみれば一目瞭然、の気がしますが、正しいでしょうか。
証明は、どのようにつければよいでしょうか。

回答No.4

minodaiski · ベストアンサー

確かに、A の存在は一意だと思います。

　所与の B, C, D に対して

　A∩B = C ... (1)
　A∪B = D ... (2)

であるとき、このような A の一意性を示すよくある手口に、

　A'∩B = C ... (3)
　A'∪B = D ... (4)

を充たす A' があると仮定して(1)~(4) より A = A' を示す、というものがあります。

　気持ちとしては、違うとしたのに同じだった！と言いたい訳です。

　具体的には、まず、ここでの全集合を U と表し、U の任意の要素 を x と表すことにします。

　そうして、上の (1)~(4) をそれぞれ次のような形で表現します。

　(x∈A∧x∈B)⇔x∈C ... (1')
　(x∈A∨x∈B)⇔x∈D ... (2')

　(x∈A'∧x∈B)⇔x∈C ... (3')
　(x∈A'∨x∈B)⇔x∈D ... (4')

　ここで、∧, ∨, ⇔ はそれぞれ「かつ」「または」「同値」を表します。

　すると、(1'), (3') より

　(x∈A∧x∈B)⇔(x∈A'∧x∈B)　... (5)

を得る一方、(2'), (4') からは

　(x∈A∨x∈B)⇔(x∈A'∨x∈B)　... (6)

を得ます。

　ここから、(5), (6) が成り立てば、x∈A⇔x∈A' も成り立つ事を示します。

　まず、(5), (6) において x∈B が真とします。この時、(5) からは x∈A⇔x∈A' を得ます。また、(6) は両辺とも真なので、真となります。

　次に、(5), (6) において x∈B が偽とします。この時、(5) は両辺とも偽なので、真。また、(6) からは x∈A⇔x∈A' を得ます。

　結局、(5), (6) が成り立つ (真である) ならば、x∈B の真偽によらず x∈A⇔x∈A' が成り立つ。//

　流れとしては、

(i) A' があるとする。
(ii) 所属記号∈ を使った表現にする。
(iii) 集合としての A と A' が等しい ( A=A' となる) ことを示す、もしくは、A と A' が等しくない (A≠A' である) とすると矛盾することを示す。

と、いった感じです。

回答No.3

alice_44

A = ( (A∪B) ∩ (notB) ) ∪ (A∩B) だってばよ。

回答No.2

Tacosan

A が B, C, D の式で計算できる.

回答No.1

B-juggler

ちょっと自信はない。ので参考にしてください。

一意性の証明は、集合Ａ　の要素を断定できればいいと思うのだけれど、

ｘ∈Ａ　⇒　ｘ∈Ｄ　かつ　｛ｘ∈￢Ｂ　（Ｂの否定）　または　Ｃ∈ｘ｝　

これ自信無い～～。誰かフォロー願います。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)