微分と積分が逆関係で矩形面積はそれぞれ同じですか?

質問

参考の動画を見て勉強しました。
https://www.youtube.com/watch?v=b1d-BAxvoWA&nohtml5=False

6分30秒のあたりでy=1/3*x^3 を微分してy=x^2になることと、
y=x^2を不定積分してy=1/3*x^3+Cの図解があります。

すごいと思いました。

それで、y=((2^2)/2)*asin(x/2)+1/2*x*(2^2-x^2)^0.5を微分してy=(2^2-x^2)^0.5になることと、
y=(2^2-x^2)^0.5を不定積分してy=((2^2)/2)*asin(x/2)+1/2*x*(2^2-x^2)^0.5+Cの図解をしてみました。

微分して円の方程式になる関数と、円の関数の図示です。
添付ファイルのようになりました。

半径2の円の右半分、上半分について、x軸0から2までを0.2刻みで10分割した矩形を図示しています。
微分して半径2の円の方程式になる関数について、x軸0から2までを0.2刻みで10分割した矩形を図示しています。

左側の矩形10個は右側の矩形10個とそれぞれ、左から順に面積が同じになるはずと思っていました。
結果はうまく行きませんでした。

きっと別の何かについて同じはずです。
x軸0から0.2の幅の矩形、0.2から0.4の幅の矩形…1.8から2.0の幅の矩形は、微分する前の関数(=原始関数)と微分した後の関数でどのように同じですか?

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

いいえ
左側の矩形と右側の矩形の面積は同じではありません
面積どうしを比べるのではありません
左側の矩形の縦長と右側の矩形の面積がほぼ同じとなります。
左側関数Y=F(x)
右側関数y=f(x)
矩形の幅をΔx
左側の矩形の縦長ΔY
右側の矩形の縦長y
とすると
(左側の矩形の縦長)=ΔY=y*Δx=(右側の矩形の面積)
となり
Δxとyからy*Δx=ΔYを求め足し合わせるのが積分
ΔxとΔYからΔY/Δx=yを求めるのが微分となります

右側の積分する前(微分した後)の関数
f(x)=√(r^2-x^2)
の0～xまでの積分値(矩形の面積の合計)は
左側の積分した後(微分する前)の関数値(棒グラフの棒の長さ)
F(x)=∫_{0～x}√(r^2-x^2)dx
=(r^2/2)*arcsin(x/r)+(x/2)√(r^2-x^2)
(y座標値)そのものとなります

右側の積分する前(微分した後)の関数
f(x)=√(r^2-x^2)
の0～0.2までの積分値(矩形の面積)は
左側の積分した後(微分する前)の関数値(棒グラフの棒の長さ)
F(0.2)=(r^2/2)*arcsin(0.2/r)+(0.2/2)√(r^2-0.2^2)
≒0.399
となります

右側の積分する前(微分した後)の関数
f(x)=√(r^2-x^2)
の0.2～0.4までの積分値(矩形の面積)は
左側の積分した後(微分する前)の関数値(棒グラフの棒の長さ)
F(0.4)≒0.7946
F(0.2)≒0.399
の差
F(0.4)-F(0.2)=∫_{0.2～0.4}√(r^2-x^2)dx
≒0.7946-0.399
となります

右側の積分する前(微分した後)の関数
f(x)=√(r^2-x^2)
の1.8～2までの積分値(矩形の面積)は
左側の積分した後(微分する前)の関数値(棒グラフの棒の長さ)
F(2)=π=(左図関数最大値)=(右図(1/4)円面積π*2^2/4)
F(1.8)=3.024
の差
F(2)-F(1.8)=∫_{1.8～2}√(r^2-x^2)dx
=π-3.024≒3.14-3.024=0.11745
となります

お礼

回答のすべてに同意です。
1段落目、微分は、部分を引いて、割る。積分は、掛けて、部分を足す。
2段落目、微分の面積の和が積分の関数値。積分の長さの差が、微分の関数値。
3段落目、4段落目、f(x)から読める面積がF(x)の値とほぼ同じになる具体的計算の左端と右端2箇所。

ただし、たまたま矩形の面積が同じになるような条件はありそうです。
矩形幅Δを1、半径rを10、xを0～10(=半径)の範囲で考えますと、矩形の面積がほぼ同じになります。
f(x)=√((10^2)-x^2)積分する前(微分した後)の関数
F(x)=(10^2/2)*arcsin(x/10)+(x/10)√(10^2-x^2)原始関数

1個目の矩形
f(1)*1=10*1=9.9498743711*1≒9.950
(F(1)-F(0))*1=(9.9833082436-0)≒9.983
f(0)≒(F(1)-F(0))*1で矩形がほぼ同じ

5個目の矩形
f(5)*1=8.6602540378*1≒8.660
(F(5)-F(4))*1=(47.8305738745-38.9061450832)*1≒8.924
f(5)≒(F(5)-F(4))*1で矩形がほぼほぼ同じ

9個目の矩形
f(9)*1=4.3588989435*1=4.359
(F(9)-F(8))*1=(75.6035209959-70.3647609001)=5.239
f(5)≒(F(5)-F(4))*1で矩形がちょっとちがうかなぁ
となったからです。

セル計算表で、rを変えながら、グラフを見てちょうどよさそうな半径rを探しました。

分割数を10、範囲を0～半径rとして、矩形がいちばん同じになるrはもっといい探しかたはありますか?

分割数、範囲、積分する前(微分した後)の関数の拡大縮小で、
ほかの関数にも矩形が同じになる条件がありそうな気がします。
たとえば、
f(x)=a積分する前(微分した後)の関数
F(x)=ax原始関数
は矩形が同じになるaは範囲と分割数に対してビタッと決めれそうです。

動画のイメージ
f(x)=x^2積分する前(微分した後)の関数
F(x)=1/3x^3原始関数
では、範囲と分割数がいい感じに調節してあるかもしれません。

回答No.4

jcpmutura

f(x)=√(r^2-x^2)
F(x)=∫_{0～x}√(r^2-x^2)dx
=(r^2/2)*arcsin(x/r)+(x/2)√(r^2-x^2)
矩形の幅Δx=1
r=10
分割数10
とします

F(0)=0
F(1)-F(0)=F(1)=y_0=9.9833
平均値の定理は
0≦x_0≦1
f(x_0)={F(1)-F(0)}/1=y_0
となるx_0が存在するというだけで
x_0の具体的な計算式を示してはいません

x_0=√{10^2-(y_0)^2}
は実際にそのx_0を求める式なのです
(
円
(x_0)^2+(y_0)^2=10^2
のx_0とy_0を入れ替えても同じだから
x_0≧0,y_0≧0ならば
y_0=√{10^2-(x_0)^2}
と
x_0=√{10^2-(y_0)^2}
は同じ
)
x_0=√{10^2-(y_0)^2}
これにy_0=9.9833を代入すると
x_0=√{10^2-(9.9833)^2}=0.577543516
同様に
x_1=√{10^2-(9.882546767)^2}=1.528158826
x_2=√{10^2-(9.677865711)^2}=2.517720253
x_3=√{10^2-(9.362424361)^2}=3.513546653
x_4=√{10^2-(8.924428791)^2}=4.511604011
x_5=√{10^2-(8.344481565)^2}=5.510864488
x_6=√{10^2-(7.589818891)^2}=6.511117355
x_7=√{10^2-(6.59988657)^2}=7.512755637
x_8=√{10^2-(5.238760096)^2}=8.517945331
x_9=√{10^2-(2.936295344)^2}=9.559192939

お礼

わかりました。
y=f(x)=√(r^2-x^2)
です。
y_0=f(x_0)=√(r^2-x_0^2)
です。
y_0やy_2や…y_9をひとまとめにして1段抽象したyがわからなかったのでした。

原点を中心とする円だから、y=xについて対称。
yとxを入れ替える。
x_0=√(r^2-y_0^2)

回答No.3

jcpmutura

矩形がいちばん同じになるrを探しているのではありません
矩形がいちばん同じになるためには
矩形の幅Δx=1
矩形の縦長ΔY_k=y_k=f(x_k)
が必要なのでそのx_kを探しているのです

f側の区間0≦x≦1の矩形の縦長を
現在
f(0)
としているのを適当な
f(x_0),(0≦x_0≦1)
に変更するためのx_0を探しているのです

r=10
分割数10
とします

y_0=F(1)-F(0)
x_0=√{10^2-(y_0)^2}
両辺を2乗すると
(x_0)^2=10^2-(y_0)^2
両辺に(y_0)^2-(x_0)^2を加えると
(y_0)^2=10^2-(x_0)^2
両辺を(1/2)乗するとy_0>0だから
y_0=√{10^2-(x_0)^2}
∴
F(1)-F(0)=y_0=√{10^2-(x_0)^2}=f(x_0)
だから
f(0)を矩形の縦長とするのではなく
f(x_0)をf側の区間0≦x≦1の矩形の縦長とすれば、
f(x_0)=(F(1)-F(0))*1
でFとfで矩形の面積が同じになります。

f(0)ではなくf(0.577543516)をf側の区間0≦x≦1の矩形の縦長とする
f(1)ではなくf(1.528158826)をf側の区間1≦x≦2の矩形の縦長とする
f(2)ではなくf(2.517720253)をf側の区間2≦x≦3の矩形の縦長とする
f(3)ではなくf(3.513546653)をf側の区間3≦x≦4の矩形の縦長とする
f(4)ではなくf(4.511604011)をf側の区間4≦x≦5の矩形の縦長とする
f(5)ではなくf(5.510864488)をf側の区間5≦x≦6の矩形の縦長とする
f(6)ではなくf(6.511117355)をf側の区間6≦x≦7の矩形の縦長とする
f(7)ではなくf(7.512755637)をf側の区間7≦x≦8の矩形の縦長とする
f(8)ではなくf(8.517945331)をf側の区間8≦x≦9の矩形の縦長とする
f(9)ではなくf(9.559192939)をf側の区間9≦x≦10の矩形の縦長とする

お礼

うおおおお！わかったー！

矩形の縦長を10個に割った区間の右端で取っていた。
上記を変えて、
10個に割った区間にそれぞれに
F(x)側の矩形の縦長F(x)-F(x-1)と
f(x)側の矩形の縦長F'(x_0)=f(x_0)が
おなじになるx_0があることを平均値の定理で示している。

10個に割った区間にそれぞれについて、
f(x)の矩形の長さを、区間の中でxをうごかして調節して、
F(x)-F(x-1)にあわせてるんだ！！！！

平均値の定理すげー。
F(x)-F(x-1)の1は動かしちゃだめ。定理で区間決まってるし、混乱するし。
それぞれの区間の中で、f(x)の縦長の長さをぴったり同じにできる、xが必ずあるんだ！微分可能ならば。

一個目はx_0=0.577543516の計算つき

すげー。

回答16行目にある下記は何ですか？
x_0=√{10^2-(y_0)^2}

回答No.2

jcpmutura

1個目の矩形で
「
f(0)≒(F(1)-F(0))*1で矩形がほぼ同じ
」
でf(0)をf側の区間0≦x≦1の矩形の縦長としていますが
平均値の定理から
0≦x_0≦1
f(x_0)={F(1)-F(0)}/1
となるx_0が存在し
実際
y_0=F(1)-F(0)
x_0=√{10^2-(y_0)^2}
とすれば
F(1)-F(0)=y_0=√{10^2-(x_0)^2}=f(x_0)
だから
f(x_0)をf側の区間0≦x≦1の矩形の縦長とすれば、
f(x_0)=(F(1)-F(0))*1
でFとfで矩形の面積が同じになります。

f(x)=√(r^2-x^2)
F(x)=∫_{0～x}√(r^2-x^2)dx
=(r^2/2)*arcsin(x/r)+(x/2)√(r^2-x^2)

r=10
Δx=1
k=0～rに対して
y_k=F(k+1)-F(k)
x_k=√{r^2-(y_k)^2}
とすれば
k<x_k<k+1
F(k+1)-F(k)=f(x_k)
となります

矩形縦長y_k=f(x_k)となるx_kは
y_0=9.9833,x_0=0.577543516
y_1=9.882546767,x_1=1.528158826
y_2=9.677865711,x_2=2.517720253
y_3=9.362424361,x_3=3.513546653
y_4=8.924428791,x_4=4.511604011
y_5=8.344481565,x_5=5.510864488
y_6=7.589818891,x_6=6.511117355
y_7=6.59988657,x_7=7.512755637
y_8=5.238760096,x_8=8.517945331
y_9=2.936295344,x_9=9.559192939
となります

お礼

左側関数Y=F(x)
右側関数y=f(x)
F'(x)=f(x)
F(x)=∫_{0～x}f(x)dx
矩形の幅Δx
左側の矩形の縦長ΔY
右側の矩形の縦長y
とすると
(左側の矩形の縦長)=ΔY=y*Δx=(右側の矩形の面積)

矩形の面積を同じにしたかったら
(左側の矩形の縦長)*Δx=左側の矩形の面積=ΔY*Δx
(右側の矩形の面積)=y*Δx
Δxは1 です。

左側の矩形の面積は区間の両端xでYをとって固定して
右側の矩形の面積を区間の間のxでyをとって同じにする。
(左側の矩形の縦長)=ΔY=y*Δx=(右側の矩形の面積)
は平均値の定理の変形
両辺をΔxで割る。
ΔY/Δx=y
(F(x_0+Δx)-F(x_0))/Δx=y=F'(c)

動画の6分30秒を見ると、矩形の数は0≦xに18個あります。
xは0~18の範囲で絵を作っていますたぶん。
よく見るとf(x)側は、グラフが矩形の真ん中あたりを通っています。
平均値の定理使ってます。
Y=F(x)=1/3*x^3
y=f(x)=x^2
Δx=1
0≦x≦18
F(1)-F(0)=f(0.5773502692)*1=0.3333333333
F(2)-F(1)=f(1.5275252317)*1=2.3333333333
F(3)-F(2)=f(2.5166114784)*1=6.3333333333
F(4)-F(3)=f(3.5118845843)*1=12.3333333333
:
F(17)-F(18)=f(17.5023807904)*1=306.3333333333
それぞれの区間内でだいたい真ん中でf(x)矩形が同じになるようです。

(左側の矩形の縦長)=ΔY=y*Δx=(右側の矩形の面積)
の両辺をΔxで割ると
(左側の矩形の縦長)/Δx=ΔY=(左側の矩形の傾き)=y=(右側の矩形の縦長)
になります。

左の縦長右の面積。左は右を積分したもの。
面積は目に見えるけど、右のグラフ上に値は無い。
左の傾き右の縦長。左を微分して右になる。
傾きは目に見えるけど、左のグラフ上に値は無い。

結局no.1の回答が質問の正しい答えだとわかりました。
no.1の回答をベストアンサーにします。

補足

分割数を10、範囲を0～半径rとして、矩形がいちばん同じになるrの探し方を回答いただいていると思われます。

分割数が10なので、0からrの範囲を、x_0、x_1、～、x9の10個の区間に分けている。

回答12行目から14行目
x_0=√{10^2-(y_0)^2}
とすれば
F(1)-F(0)=y_0=√{10^2-(x_0)^2}=f(x_0)
が判りません。　　　　　↑
12行目のx_0を14行目のこのx_0に代入すると変な感じがします。
F(1)-F(0)=y_0=√{10^2-(√{10^2-(y_0)^2})^2}=f(x_0)