全微分可能性の証明

質問

f:R^2→R　(x,y),(a,b)∈R^2　とする。

g(x,y)＝f(x,y)-f(a,b)-α(x-a)-β(y-b)

lim g(x,y)／｜(x,y)-(a,b)｜＝0
(x,y)→(a,b)

上を満たすようなgの存在を仮定したとき、それが一意であることを証明せよ。
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というのが全微分の定義と一緒に教科書に載っていたのですが証明の仕方がわかりません。一意性を示す証明なので、上の式を満たすようなg(x,y)とg'(x,y)が存在すると仮定し、そこから矛盾を導く（つまり、g(x,y)=g'(x,y)である）流れでよいのかと思ったのですが、やはりどうすればよいのかがわかりません。

証明の流れ、もしくは証明を教えてください。よろしくお願いします。

回答No.1

endlessriver

フレッシェ微分の定義に似ていますね。
であれば極限が存在することは当然一意であることですから
微分α、βが一意に存在することを言っているだけではないですか？

どうしてもというなら
g1(x,y)＝f(x,y)-f(a,b)-α1(x-a)-β1(y-b)
としてg-g1を考え、偏微分のようにy=bとx=aの場合に分ければα=α1、β=β1が得られるのではないのでしょうか？