-sin{(2m-1)π/2}=？

質問

-sin{(2m-1)π/2}が(-1)^(m-1)になっているみたいなんですが、計算が合いません。自分は=cos(mπ)=(-1)^mになります。どこが間違っているのか教えて下さい。

-sin{(2m-1)π/2}
=-{sin(mπ-π/2)}
=-{sin(mπ)cos(π/2)-cos(mπ)sin(π/2)}
=-(-cos mπ)
=cos mπ
=(-1)^m
(本に cos(nπ)=(-1)^nという公式があります。)

本には、
方形波のHighのど真ん中からフーリエ級数展開を求める場合、
「2m-1は、nが奇数のときを表す（これが鍵？）」とした上で、
f(t)=4/π Σ[∞,m=1] {(-1)^(m-1)}/(2m-1) × cos(2m-1)ωt
=4/π (cos ωt - 1/3 cos 3 ωt + ...)
になるが、と説明し、
詳細は端折りますが、
sin{(2m-1)ω(t-T/4}
=sin{(2m-1)ωt - (2m-1)π/2}
を計算すると、
=0-sin(2m-1)π/2 cos(2m-1)ωt
=(-1)^(m-1) cos(2m-1)ωt
となり、第m項と一致する、とあります。

回答No.2

info222_ · ベストアンサー

>-sin{(2m-1)π/2}が(-1)^(m-1)になっているみたいなんですが、計算が合いません。自分は=cos(mπ)=(-1)^mになります。

本の「(-1)^(m-1)」が間違いです。
質問者さんの「(-1)^m」の計算過程と結果の方が合っています。

- sin{(2m-1)π/2}= - sin(mπ-π/2)
= - {sin(mπ)cos(π/2) - cos(mπ)sin(π/2)}
= - {0×0-cos(mπ)×1}
= cos(mπ)
=1 (mが偶数のとき), = -1 (mが奇数のとき)
= (-1)^m
となります。

本の計算は
>f(t)=(4/π) Σ[m=1, ∞] {(-1)^(m-1)}/(2m-1) × cos(2m-1)ωt
> =(4/π) (cos ωt - 1/3 cos 3 ωt + ...)
>になるが、
↑この式は合っています

>と説明し、
>詳細は端折りますが、
下の式はどこからどのようにして出した式ですか？

>sin{(2m-1)ω(t-T/4)}
ωT=2πなので
> =sin{(2m-1)ωt - (2m-1)π/2}
>を計算すると、
=cos((2m-1)π/2)sin((2m-1)ωt)-sin((2m-1)π/2)cos((2m-1)ωt)
=0*sin((2m-1)ωt)-sin((2m-1)π/2)cos((2m-1)ωt)
> =0-sin((2m-1)π/2) cos((2m-1)ωt)
= -sin(mπ-π/2) cos((2m-1)ωt)
= sin(π/2-mπ) cos((2m-1)ωt)
= cos(mπ) cos((2m-1)ωt)
= ((-1)^m) cos((2m-1)ωt)
なので
> =(-1)^(m-1) cos(2m-1)ωt
とはなりません。

お礼

詳細な計算、ありがとうございます。
私の認識と同じです。
やはり、本が間違っていそうですね。
計算機でも
sin{(2m-1)ωt - (2m-1)π/2}
は
cos(m(2ωt-π)-ωt)
となり、
cos(m(2ωt-π)-ωt) | m=1
は
-cos(ωt)、
cos(m(2ωt-π)-ωt) | m=2
は
+cos(3ωt)
なので、
((-1)^m) cos((2m-1)ωt)
になり、
=(-1)^(m-1) cos(2m-1)ωt
にはなりません。

さて、あの式の出所ですが、まず、今の例題の一つ前に
「方形波の『立ち上がり』を原点にとって」フーリエ級数展開する[例題1-2]があります。
この場合は
f(t)=4/π Σ[∞,n=奇数] {1/n × sin nωt}
=4/π (sin ωt + 1/3 sin 3ωt + 1/5 sin 5ωt + ...)
になります。
今回の例題によると
「実は面倒なフーリエ級数展開をしなくても、[例題1-2]の式の原点をT/4 (=π/2ω)だけ平行移動すると、正弦が余弦に変わり、
sin{(2m-1)ω(t-T/4}
=sin{(2m-1)ωt - (2m-1)π/2}
=sin(2m-1)ωt cos(2m-1)π/2 - cos(2m-1)ωt sin(2m-1)π/2
=0-sin(2m-1)π/2 cos(2m-1)ωt
=(-1)^(m-1) cos(2m-1)ωt
となり、式
f(t)=4/π Σ[∞,m=1] {(-1)^(m-1)}/(2m-1) × cos(2m-1)ωt
=4/π (cos ωt - 1/3 cos 3 ωt + ...)
の第m項と一致する。」
・・・とのことです。

これをお読みになって如何でしょうか？
足りないところがあれば、補足いたします。
もう出版社に問い合わせる覚悟はできています。

補足

もしかして、平行移動は
t-T/4
ではなく
t+T/4
というオチでしょうか？

計算機で計算したところ、
t-T/4
なら、合致します。

回答No.1

bran111

A=-sin{(2m-1)π/2}
B=(-1)^(m-1)
C=(-1)^m

において
m=0 : A=1 : B=-1 : C=1
m=1 : A=-1 : B=1 : C=-1
m=2: : A=1 : B=-1 : C=1

結論としてA=C、A≠B

ゆえに本は正しくはない。あなたの計算が正しい可能性があります。多分正しいのでしょうが、後半の計算は込み入っていますので途中で何かる可能性はあります。

お礼

ありがとうございます。
私の計算が正しい可能性がありそうなのですね（私が端折った部分で何かやっているかもしれませんが）。
であれば、本のタイトルを伝えます。「なっとくするフーリエ変換」で、37ページにこの式があります。

補足

言葉足らずですみません。
私の計算が正しそうとのことですが、気になるのは
第1項 = cos ωt
第2項 = - 1/3 cos 3 ωt
なので、その部分は本の方が正しそうなことです。
本の計算と私の計算では、符号が真反対なんですよね。しかし、なぜそうなるのかが見出せません。奇数と偶数が関係している気がしますが、自信がありません。