次の微分方程式の問題の解答解説をお願いします。

質問

ある物体の温度を温度計を用いて測定することを考える。時刻tにおける温度計の表示温度をy(t),物体の真の温度をT(t)としたとき,表示温度の変化率は(T(t)-y(t))に比例することより,

dy(t)/dt　=　(T(t)-y(t))/τ

の微分方程式に従う。ここで、τは温度計の特徴を表す定数である。また、t=0のときの表示温度をy0とし、y0<Tとする。

(1)物体の温度が時間によらず一定(T(t)=T0)のとき、y(t)を求めよ。ただし、T0>y0とする。また、この時のy(t)の概形も図示せよ。

(2)τの次元を答えよ。

(3)次に物体の温度が時間とともに一定の割合で上昇している場合について考える。すなわち、T(t)=T0+ktである。この場合の微分方程式(a)を解き、実際の温度T(t)と表示温度y(t)を同一のグラフにプロットせよ。ただし、T0>y0,k>0とする。

(4)(3)の二つのグラフの関係性をτを用いて説明せよ。

よろしくお願いします。

回答No.1

bran111

dy(t)/dt　=　(T(t)-y(t))/τ (1)

t=0のときの表示温度をy0とし、y0<Tとする。

(1)物体の温度が時間によらず一定(T(t)=T0)のとき、y(t)を求めよ。ただし、T0>y0とする。また、この時のy(t)の概形も図示せよ。

dy(t)/dt+y(t)/τ=T0/τ (2)

y(t)=Aexp(-t/τ)+B （3）

とおく。(2)へ代入

-(A/τ)exp(-t/τ)+(Aexp(-t/τ)+B)/τ=T0/τ

B=T0 (4)

t=0のとき

y(0)=A+B=y0

(3)を用いてA=y0-B=y0-T0　　　　（５）

(4),(5)を(3)に代入

Y=(y0-T0)exp(-t/τ)+T0=T0-(T0-y0)exp(-t/τ)

Yのグラフ
横軸：時間t、縦軸：温度T
Tはt=0, T=y0<T0なる点(0,y0)から出発し次第にT0に近づく漸近線

(2)τの次元を答えよ。
時間

(3)次に物体の温度が時間とともに一定の割合で上昇している場合について考える。すなわち、T(t)=T0+ktである。この場合の微分方程式(a)を解き、実際の温度T(t)と表示温度y(t)を同一のグラフにプロットせよ。ただし、T0>y0,k>0とする。

(1)にT(t)=T0+ktを代入する。

dy(t)/dt　=　(T0+kt-y(t))/τ

dy(t)/dt+y(t)/τ=(k/τ)t+T0/τ　　　　　　　　　　(6)

１階微分方程式

Dy/dx+P(x)y=Q(x)

の一般解は

Y=exp(-∫P(x)dx){ ∫[Q(x) exp(∫P(x)dx)]dx+C}

で与えられる。（教科書、ネットで確認すること）

(6)の場合

P(x)　⇒　1/τ
∫P(x)dx　⇒　t/τ　
Q(x) ⇒　(k/τ)t+T0/τ
∫[Q(x) exp(∫P(x)dx)]dx ⇒　
∫[(k/τ)t+T0/τ]exp( t/τ)]dt=(k/τ)∫t exp( t/τ)dt+(T0/τ)∫exp( t/τ)dt=(k/τ)I1+(T0/τ)I2
I1=∫t exp( t/τ)dt=tτexp( t/τ)- τ∫exp( t/τ)dt (部分積分)
= τtexp( t/τ)- τ^2exp( t/τ)
I2=∫exp( t/τ)dt=τexp( t/τ)
∫[(k/τ)t+T0/τ]exp( t/τ)]dt=(k/τ)I1+(T0/τ)I2
=(k/τ)[ τtexp( t/τ)- τ^2exp( t/τ)]+(T0/τ)[ τexp( t/τ)]
=k[ texp( t/τ)- τexp( t/τ)]+T0exp( t/τ)
y= exp(-t/τ){ k[ texp( t/τ)- τexp( t/τ)]+T0exp( t/τ)+C}
=k(t-τ)+T0+C exp(-t/τ)
t=0
y=y0=-kτ+T0+C
C= y0+kτ-T0
y= k(t-τ)+T0+[ y0+kτ-T0] exp(-t/τ)
=(T0-kτ)[1- exp(-t/τ)]+ y0 exp(-t/τ)+kt

T=0 : y=y0
T⇒∞：y=T0+k(t-τ)

ｙのグラフは(0,y0)から出発して直線y=T0+k(t-τ)に漸近する

(4)(3)の二つのグラフの関係性をτを用いて説明せよ。
Τは過渡事象としての温度の計測系の時定数であり、τは小さいほど物体の温度に対する追従性がよい。