数列の問題です

質問

aを整数として
S(n)=Σ[k=1→n] -f(k)
f(k)=(k-3)(k-6)(k-a)
とする

このとき、
(1)S(3)=S(a)となるaを求めよ
また
(2)S(n)を最大にするnを求めよ

というものです

(1)は
S(3)=S(2)
S(a)=S(a-1)
であることに着目して

a=3,2
a-1=3,2
すなわち
a=2,3,4
は成り立つ
と考えたのですが、本当にこれだけかどうかがわかりません

f(k)がkの3次式になるので、S(n)はnの4次式になり、解は4つある可能性があるからです

(2)も計算せずに、増減から考えたのですが、上手く出来ませんでした

ご教授お願いします

回答No.1

f272 · ベストアンサー

(1)
「S(n)はnの4次式になり、解は4つある可能性がある」ことまでわかっているのなら，もう１つ解を見つければよい。
S(4)=S(3)-2a+8
S(5)=S(3)-4a+18
S(6)=S(3)-4a+18
S(7)=S(3)-10
S(8)=S(3)+10a-90
S(9)=S(3)+28a-252
と順番に計算すればa=9のときS(a)=S(3)となることがわかる。
(2)
aの大きさによって場合わけをする。
a=1のときはS(1)↓S(2)→S(3)↑S(4)↑S(5)→S(6)↓S(7)↓S(8)↓S(9)↓だからS(5)=S(6)が最大
a=2のときはS(1)→S(2)→S(3)↑S(4)↑S(5)→S(6)↓S(7)↓S(8)↓S(9)↓だからS(5)=S(6)が最大
a=3のときはS(1)↑S(2)→S(3)↑S(4)↑S(5)→S(6)↓S(7)↓S(8)↓S(9)↓だからS(5)=S(6)が最大
a=4のときはS(1)↑S(2)→S(3)→S(4)↑S(5)→S(6)↓S(7)↓S(8)↓S(9)↓だからS(5)=S(6)が最大
a=5のときはS(1)↑S(2)→S(3)↓S(4)→S(5)→S(6)↓S(7)↓S(8)↓S(9)↓だからS(2)=S(3)が最大
a=6のときはS(1)↑S(2)→S(3)↓S(4)↓S(5)→S(6)↓S(7)↓S(8)↓S(9)↓だからS(2)=S(3)が最大
a=7のときはS(1)↑S(2)→S(3)↓S(4)↓S(5)→S(6)→S(7)↓S(8)↓S(9)↓だからS(2)=S(3)が最大
a=8のときはS(1)↑S(2)→S(3)↓S(4)↓S(5)→S(6)↑S(7)→S(8)↓S(9)↓だからS(2)=S(3)が最大（8と6の差よりも3と6の差が大きい）
a=9のときはS(1)↑S(2)→S(3)↓S(4)↓S(5)→S(6)↑S(7)↑S(8)→S(9)↓だからS(2)=S(3)=S(8)=S(9)が最大
a>9のときはS(1)↑S(2)→S(3)↓S(4)↓S(5)→S(6)↑S(7)↑S(8)↑S(9)↑...↑S(a-1)→S(a)↓だからS(a-1)=S(a)が最大（3と6の差よりもaと6の差が大きい）
まとめると
a<=4のときS(n)を最大にするn=5または6
5<=a<=8のときS(n)を最大にするn=2または3
a=9のときS(n)を最大にするn=2または3または8または9
9<aのときS(n)を最大にするn=a-1またはa

お礼

ありがとうございました！！

非常に助かりました！