微分積分学・接線・教科書の説明で不明な点

質問

「サイエンス社 微分積分学 笠原晧司」p38 の接線の定義の説明でわからない点があります。
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1変数の関数f(x)が開区間 I=(a,b) 上で与えられているとき、Iの１点x0においてfのグラフに接線を引くことを考えよう。
接線とは直線であるから、その関数表示は１次式になる。そして、点(x0,f(x0))を通るから、それは
l(x)=f(x0)+α(x-x0) (1)
の形の関数である。この形の関数がy=f(x)の接線になるというのは、誤差 g(x)=f(x)-l(x) が、(1)の形の他のどんなl'(x)よりも”小さい”、すなわち
g(x)/{f(x)-l'(x)}→0 (x→x0)
をみたすことである。
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「g(x)=f(x)-l(x) が、(1)の形の他のどんなl'(x)よりも”小さい”、すなわち g(x)/{f(x)-l'(x)}→0 (x→x0) をみたす」
と言う部分がわかりません。

この部分は、
{g が(1)の形の他のどんなl'よりも小さい}⇔{ g/(f-l')→0 (x→x0) }
と言う命題を意味すると思うのですが、命題の証明がわかりません。
私の解釈が間違っている場合はその訂正もお願いします。

ちなみに、
l'(x)=f(x0)+β(x-x0) (β≠α) であり、
「g が(1)の形の他のどんなl'よりも小さい」とは、
「x=x0 の十分近くでは任意のβに対して｜f-l｜<｜f-l'｜が成り立つ」ということだと思います。

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

任意のε>0に対して
l(x)=f(x0)+α(x-x0)
l1(x)=f(x0)+(α+ε)(x-x0)
l2(x)=f(x0)+(α-ε)(x-x0)
g(x)=f(x)-l(x)
とすると
あるδ>0が存在して
0<|x-x0|<δ
→
|g(x)|=|f(x)-l(x)|<|f(x)-l1(x)|だから
|f(x)-f(x0)-α(x-x0)|<|f(x)-f(x0)-(α+ε)(x-x0)|
|g(x)|=|f(x)-l(x)|<|f(x)-l2(x)|だから
|f(x)-f(x0)-α(x-x0)|<|f(x)-f(x0)-(α-ε)(x-x0)|
|{f(x)-f(x0)}/(x-x0)-α|<|{f(x)-f(x0)}/(x-x0)-α-ε|…(a)
|{f(x)-f(x0)}/(x-x0)-α|<|{f(x)-f(x0)}/(x-x0)-α+ε|…(b)
(a)で
{f(x)-f(x0)}/(x-x0)-α-ε>0
を仮定すると
{f(x)-f(x0)}/(x-x0)-α>ε>0
だから
{f(x)-f(x0)}/(x-x0)-α<{f(x)-f(x0)}/(x-x0)-α-ε
0<-ε
0<ε<0となって矛盾するから
{f(x)-f(x0)}/(x-x0)-α-ε<0
{f(x)-f(x0)}/(x-x0)-α<ε…(c)
(b)で
{f(x)-f(x0)}/(x-x0)-α+ε<0
を仮定すると
{f(x)-f(x0)}/(x-x0)-α<-ε<0
だから
α-{f(x)-f(x0)}/(x-x0)<α-{f(x)-f(x0)}/(x-x0)-ε
0<-ε
0<ε<0となって矛盾するから
{f(x)-f(x0)}/(x-x0)-α+ε>0
これと
(c)から
-ε<{f(x)-f(x0)}/(x-x0)-α<ε
|{f(x)-f(x0)}/(x-x0)-α|<ε
∴
lim_{x→x0}{f(x)-f(x0)}/(x-x0)=α

β≠α
l'(x)=f(x0)+β(x-x0)
とすると

lim_{x→x0}g(x)/{f(x)-l'(x)}
=lim_{x→x0}{f(x)-l(x)}/{f(x)-l'(x)}
=lim_{x→x0}{f(x)-f(x0)-α(x-x0)}/{f(x)-f(x0)-β(x-x0)}
=lim_{x→x0}[{f(x)-f(x0)}/(x-x0)-α]/[{f(x)-f(x0)}/(x-x0)-β]
=[α-α]/[α-β]
=0

お礼

ありがとうございます！完璧な証明だと思います。

ただ、もっと簡単な証明があるのではないかと想像しています。
また、この教科書では、傾きαが lim_{x→x0}{f(x)-f(x0)}/(x-x0) であることは、証明していただいた命題を用いた議論の結論から導かれています。

もうしばらく回答を受け付けたままにしておきたいと思います。