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aを 正の 実数とするとき，次の問いに答えよ．(1) 1辺の長さが1，他の2辺のうち1辺の長さがaである三角形のなかで，面積が最大である三角形の残りの1 辺の長さをaを用いて表せ．(2) 2辺の長さが1，他の2辺のうち1辺の長さがaである四角形のなかで，面積が最大である四角形の残りの1 辺の長さをaを用いて表せ．
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a>0を正の実数とする (1) △OAB |OA|=1 |OB|=a △OABの面積 |△OAB|=(a*sin∠AOB)/2 が最大となる時は sin∠AOB=1 ∠AOB=π/2=90° となる時だから 残りの辺の長さ|AB|に対して |AB|^2 =1+a^2-2a*cos∠AOB =1+a^2-2a*cos90° =1+a^2 だから 残りの辺の長さ|AB|は |AB| = √(1+a^2) (2) 4角形の 2辺の長さが1 他1辺の長さがa とすると 長さがaの辺の隣に長さが1の辺があるから その間の頂点をO 長さがaの辺を OB その長さが1の辺を OA とすると 4角形の面積が最大となる時は △OABの面積が最大となる時だから 対角線の長さ|AB|は |AB|=√(1+a^2) となる 4角形の残りの頂点をCとすると |AC|=1又は|BC|=1のとどちらかだから |BC|=1のときA,Bを入れ替えて |AC|=1とする 4角形の面積が最大となる時は △ABCの面積が最大となる時だから 残りの辺|BC|の長さは |BC|=√(1+|AB|^2) = √(2+a^2)
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- atkh404185
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（１） △ＡＢＣで、 ＡＢ＝１、 ＡＣ＝ａ(＞０) とすると △ＡＢＣ＝(1/2)・１・ａ・sinＡ＝(ａ/2)sinＡ ここで、 ０°＜Ａ＜１８０° だから、 ０＜ sinＡ≦１ 辺々に、 ａ/2 をかけて、 ０＜(ａ/2)sinＡ≦ａ/2 ０＜△ＡＢＣ≦ａ/2 よって、△ＡＢＣは、 sinＡ＝１ つまり Ａ＝９０° のとき最大値 ａ/2 をとる。 これより、△ＡＢＣは、 Ａ＝９０° の直角三角形となり、 残りの辺 ＢＣ の長さは、三平方の定理より ＢＣ^2＝１^2＋ａ^2＝１＋ａ^2 ＢＣ＞０ より ＢＣ＝√(１＋ａ^2) ・・・・・・(答) （２） 四角形ＡＢＣＤで、 ＡＢ＝１，ＢＣ＝１，ＣＤ＝ａ(＞０) とする。 四角形ＡＢＣＤの面積を Ｓ とすると、 Ｓ＝△ＡＢＣ＋△ＡＣＤ ここで、 △ＡＢＣ＝(1/2)・１・１・sinＢ＝(1/2)sinＢ ここで、 ０°＜Ｂ＜１８０° だから、 ０＜ sinＢ≦１ 辺々に、 1/2 をかけて、 ０＜(1/2)sinＢ≦1/2 ０＜△ＡＢＣ≦1/2 △ＡＢＣは、 sinＢ＝１ つまり Ｂ＝９０° のとき最大値 1/2 をとる。 これより、△ＡＢＣは、 Ａ＝９０° の直角三角形となり、 残りの辺 ＢＣ の長さは、三平方の定理より ＡＣ^2＝１^2＋１^2＝１＋１＝２ ＡＣ＞０ より ＡＣ＝√２ 次に、 △ＡＣＤ＝(1/2)・√２・ａ・sin∠ＡＣＤ＝(√2ａ/2)sin∠ＡＣＤ ここで、 ０°＜∠ＡＣＤ＜１８０° だから、 ０＜ sin∠ＡＣＤ≦１ 辺々に、 √2ａ/2 をかけて、 ０＜(√2ａ/2)sin∠ＡＣＤ≦√2ａ/2 ０＜△ＡＣＤ≦√2/2 △ＡＣＤは、 sin∠ＡＣＤ＝１ つまり ∠ＡＣＤ＝９０° のとき最大値 √2ａ/2 をとる。 これより、△ＡＣＤは、 ∠ＡＣＤ＝９０° の直角三角形となり、 残りの辺 ＡＤ の長さは、三平方の定理より ＡＤ^2＝(√２)^2＋ａ^2＝２＋ａ^2 ＡＤ＞０ より ＡＤ＝√(２＋ａ^2) したがって、四角形ＡＢＣＤの残りの辺の長さは √(２＋ａ^2) ・・・・・・(答)
