直線と平面の交点

質問

「四面体OABCにおいて、辺BCの中点をD、辺OAを3:2に内分する点をEとする。線分DEを1:2に内分する点をFとし、直線OFと平面ABCの交点をGとする。ベクトルOA=ベクトルa、ベクトルOB=ベクトルb、ベクトルOC=ベクトルcとするとき、ベクトルOGをベクトルa、ベクトルb、ベクトルcを用いて表せ。」という問題の答えは『ベクトルOG=3/8ベクトルa＋5/16ベクトルb＋5/16ベクトルc』で合ってますか？

回答No.2

atkh404185 · ベストアンサー

ベクトルは、省略して書きます。
点Eは、辺OAを3:2に内分する点だから、
OE=(3/5)a
点Dは、辺BCの中点だから、
OD=(1/2)b+(1/2)c
点Fは、辺DEを1:2に内分する点だから、
OF=(2/3)OD+(1/3)OE
=(2/3){(1/2)b+(1/2)c}+(1/3)(3/5)a
=(1/5)a+(1/3)b+(1/3)c
直線OFと平面ABCの交点をGとするから、
OG=kOF=(k/5)a+(k/3)b+(k/3)c ・・・・・・(1)
また、Gは平面ABC上の点だから、
OG=OA+sOB+tOC
=a+s(b-a)+t(c-a)
=(1-s-t)a+sb+tc ・・・・・・(2)
(1)、(2)より、
(k/5)a+(k/3)b+(k/3)c=(1-s-t)a+sb+tc
a、b、c は一次独立だから、
k/5=1-s-t ・・・・・・(3)
k/3=s ・・・・・・(4)
k/3=t ・・・・・・(5)
(4)、(5)を(3)に代入して、
k/5=1-k/3-k/3
3k=15-5k-5k
13k=15
k=15/13
したがって、(1)より、
OG=(3/13)a+(5/13)b+(5/13)c
と、なりました。

お礼

ありがとうございました！助かりました！

回答No.1

atkh404185

答えは『ベクトルOG=3/8ベクトルa＋5/16ベクトルb＋5/16ベクトルc』で合ってますか？

⇒　ベクトルOG=3/13ベクトルa＋5/13ベクトルb＋5/13ベクトルc

になりましたが・・・。

お礼

ありがとうございます。
計算過程を教えて頂くことは可能ですか？