数II3次方程式の因数分解について質問します。

質問

x^3 -3x^2 +x +5 =0
という式なのですが、
なぜ(x+1)(x^2 -4x +5)=0となるのかわかりません。
因数分解の仕方をご教授ください。

回答No.1

trytobe · ベストアンサー

x に整数 a を入れてみて、0 になるものがあったら、(x-a) で割れる、という性質があります。

この問題では、負の整数を試さないといけないので難しいですが、

x = -1 を代入すると、(-1)^3 - 3*(-1)^2 + (-1) + 5 = -1 -3 -1 +5 = 0 となるので、{x-(-1)} つまり (x+1) で割り切れるのです。

あとは、多項式の割り算でやるか、3乗の項は (x+1)(x^2) で作れて、+2*x^2がついでにできちゃってるから、残り -4*x^2 を作るために 2乗の項は (x+1)(-4x) で作れて、-4x がついでにできちゃってるあｋら、残り 5x を作るために 1乗の項は (x+1)*5 で作れて、・・・

とすると、(x+1)(x^2 -4x +5)=0 にたどりつくのです。

お礼

納得しました！わかりやすい回答をどうもありがとうございました。

回答No.2

info222_

x^3 -3x^2 +x +5 =0
x=-1とおくと左辺=-1-3-1+5=0となるから因数定理より左辺は因数(x+1)で割り切れる。
したがって左辺から因数(x+1)をくくり出すように変形するば
左辺=x^3+x^2-4x^2-4x+5x+5
=(x+1)x^2-4(x+1)x+5(x+1)
=(x+1)(x^2-4x+5)
と因数分解できる。第2項は有理数の範囲では因数分解できないので左辺は因数分解できません。

なお
3次方程式を解くのであれば、第2項=0には2次方程式の解の公式を使えば良い。
(x+1)=0 または (x^2-4x+5)=0
x=-1, x=2± i (ただし、iは虚数単位)
（第2項=0は実数解を持ちません。）