積分の式の簡略化(かっこの外し方)

質問

∫(xu)^-1/2 ・ (x-xu)^-1/2 ・x　du

とあったとき、

∫ u^-1/2 ・(1-u)^-1/2 du

となる方法がわかりません。

xでくくっているのはわかるのですが指数がついている場合の括り方が完全に忘却曲線です。

お恥ずかしい話ですがご指導お願い申し上げます。

回答No.1

trytobe · ベストアンサー

∫(xu)^(-1/2) ・ (x-xu)^(-1/2) ・x　du
= ∫ 1/√(xu) × 1/√(x-xu) × √x × √x　du
= ∫ 1/√(u) × 1/√(1-u)　du
= ∫ u^(-1/2) ・(1-u)^(-1/2) du

お礼

内容理解のために非常にわかりやすい解説をしてくださり誠にありがとうございます。
xもルートにわけてびしばし消してしまえばいいという考え方、すんなりわかりました。

本当にありがとうございます。

回答No.2

info222_

I=∫(xu)^(-1/2) ・ (x-xu)^(-1/2) ・x　du
=∫{(xu)^(-1/2)}・{(x-xu)^(-1/2)}・x　du
指数の定義から　(ab)^(-1/2)=1/√(ab)なので
ab>0と考えてよい。
a>0, b>0の場合は√(ab)=(√a)(√b)
a<0, b<0の場合は√(ab)=(√(-a))(√(-b))
となります。
なので x>0,0<u<1の場合
x^(-1/2)=1/(√x) をくくりだせば
=∫{u^(-1/2)}{x^(-1/2)}・{(x(1-u))^(-1/2)}・x　du
=∫{u^(-1/2)}{x^(-1/2)}・{(1-u)^(-1/2)}{x^(-1/2)}・x　du
=∫{u^(-1/2)}・{(1-u)^(-1/2)}{x^(-1/2-1/2)}・x　du
=∫{u^(-1/2)}・{(1-u)^(-1/2)}{x^(-1)}・x　du
=∫{u^(-1/2)}・{(1-u)^(-1/2)}{x^(-1+1)}　du
=∫{u^(-1/2)}・{(1-u)^(-1/2)}・x^0　du
=∫{u^(-1/2)}・{(1-u)^(-1/2)}・１　du
=∫ u^(-1/2) ・(1-u)^(-1/2) du
となります。

お分かり？

お礼

ものすごいご丁寧な解答解説誠にありがとうございます。√の特性から±を検討したうえでくくるときれいに消えるんですね。
ありがとうございました。