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循環小数と分数の不思議
- 循環小数が分数で表され、等分にわけられない物が分数で表されることに疑問を持っている。
- 息子は循環小数の書き方と分数の書き方の違いについて疑問を抱いており、それがどうして可能なのか不思議に思っている。
- 母親も息子の疑問に理解を示しており、小数や分数の概念についての基本的な部分が欠如している可能性があると考えている。
- tigerdragon
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- 数学・算数
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まずは、現実の世界と数の世界を混同しないことです。 現実の世界をある数学の手法で表現しているのですから、不都合なことはよくあります。 不都合なときは、別の表現方法を使う必要が出てくるのです。 ＞循環小数が分数で表され ＞等分にわけられっこない物が [１/3づつ] の様に分数で書かれる事にも納得がいかない。 1/10が10進数小数で0.1と表現できるように、1/3は3進数小数で0.1と表現できます。 なにかしらのものを、人の都合で10進数で表現しているだけなので不都合ならすべて分数で表現すればよいだけではないでしょか？ 循環小数も無理矢理10進数小数で表現するとそのように書くことになると言うだけです。 ＞でも教科書とかに１/3づつ分けました とか絵が描いてある。 ＞おかしいと思うんだけど…。 そうですね、幾何学的に長さ1の線分を1/3に分割する方法は存在しません。 なかなか、凡人には気づかないことかもしれません。 しかし、 (1)もともと同じものが3つあれば、3等分することはできます。 (2)すべてのものが無限に1/3に分割できる世界では、いつでも3分割可能です (3)幾何学の世界であっても三角形や六角形といった図形や、円も三等分出来ます。 など、考え方によってはいくらでも別の数学的方法があります。 数の世界は(2)の考え方です。 ＞カステラの中に無限の小数が～…。 おっしゃるように、無限に細かく分けていく手順であっても有限時間で出来る方法がもし存在すれば1/3に分割できるかも知れませんね。 無限の手順であっても答えがあるのなら数の世界では、それはある数なのです。 無限の手順の結果が有限であることはよくあります。 そのようなことに対して、延々と手順を続けるのは時間の無駄になってしまいます。 数の世界では、手順と時間は等価ではなく、無限の手順は一瞬で終了すると考えればいいかもしれません。 数が無限に分割できる（有理数）ことや無限に分割しても表現できない数（無理数）があることは中学1年で習うと思います。 数が有理数と無理数からなることは実数の定義となっています。 そのような定義にしないと、世の中には表現できないものが非常に多いと言うことです。 もっと、詳しいこと（無限と無限が割り算可能か等）は高校や大学の数学になります。 話を戻すと、出題者の都合で1/3に分割したと言っているんだから、気するだけ損というものでもあります。 例え自分には実現する方法が無くとも、神様みたいな存在が1/3にしたんだから、黙って従うしかないんです。世の中そんなことだらけですよ。 ＞３等分に分けるなんてできないんじゃない？ はい、現実物理世界ではできません。 プランク長という長さより短い長さや、プランク時間という時間より短い時間は物理的に無意味ですので分割できません。 現実世界と数の世界は違います。 現実世界と混同すると試験に落ちてしまいます。(>_<) ＞でも切ってないチーズとか １０等分に切れてるチーズを３等分…とかが ぼくには意味不明…。 「きっと、どろどろのチーズに戻して、６角柱の型に流し込んだんだよ。」 と言っていたら、きりがないですね。(^^;) 現実世界と数の世界は違うんですよ。 ＞小数や分数の概念の基本的な部分が欠如しているからなのでは。 そう、習うのは中学校に入ってからなんですよ！ 小学生のうちに、そこまで考えることが出来ていればとても優秀だと思いますよ。
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- Key_A
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元塾講師です。 えらく将来有望なお子さんですねwww こういう場合は図書館通いを習慣づけて、興味のある本を読ませるようにしましょう。 親御さんにも説明する手間が省けますしｗ 「余り」に関して一つだけ言えるのは、商（割り算の答え）が 整数である時に用いられる事が殆どです。
お礼
ご回答ありがとうございます。 お褒めのお言葉ありがとうございます。 実際は…有望どころか この子将来大丈夫か？と 家族みんなで気を揉んでおります。 元塾の先生でいらっしゃるという事で… 先日も [浜学園]で部分分数分解を学習していました。 やり方も分かるし 解答も出せる。 『でも ぼくはこんな事は 式を見ても気がつかないよ。 どうして だれが こんな小技を見つけたの？』 と 先に進まないのです。 『そんな事どうでもいいから 部分分数分解の公式みたいなものだから覚えちゃえばいいの！』 『ちゃっちゃと宿題しちゃいなさいよ！』 といっても 『不思議だよね。だれが気が付いたんだろう…すごいよね。』 と 進まないので 因数分解から教えなくてはならないのです…。 当然 塾の宿題はほったらかしです…。 手のかかる息子です。 ありがとうございました。
- matsu_jun
- ベストアンサー率55% (146/265)
まずは小学校四年生にしてこれだけの思いを馳せることができるお子様の素養と思慮の深さ、素直に尊敬いたします。 結論からすると、小数というのは全てのものの量を表すことはできないものだということです。 だから「3等分できない」のではなく、「3等分したことを小数で書き表すことができない」ということなのです。(もう少し勉強すれば、循環小数の表記法を学習するので、この例についてはその方法で書き表すことはできますが) お子様には、まずは以下の作業を行ってもらいましょう。 ・長さ1cmの線を引きます。この線を、線ABとします。 ・線ABの片方の端(点A)から、線ABと垂直で、長さ3cmの線を引きます。この線を、線ACとします。 ・点Bと点Cを繋ぐと、直角三角形ABCを描くことができます。 ・次に線ACについて、三等分しましょう。長さ3cmなので、1cmずつになります。点Aに近い側を点D、点Cに近い側を点Eとします。 ・点Dを通り、線BCと平行な線を引いてください。この線と線ABが交わった点を点Fとします。 ・同じく点Eを通り、線BCと平行な線を引いてください。この線と線ABが交わった点を点Gとします。 ・点Fと点Gは、線ABを三等分する点になります。三角形ABCと三角形AFD、三角形AGEが全て同じ形(相似)であることから説明はできると思います。 さて、1cmを正しく3等分することができましたが、これらを定規で長さを計った時、もちろん定規には1mmまでしか目盛りが無いので正確に計ることはできませんが、どれか一つだけが4mmで、残りの2つが3mmということは無いはずですよね。 ここからも、「3等分という状態を小数で書き表すことができない」ことが分かるはずです。 言葉が全ての物事を表すことができないのと同様に(病院でお医者さんに、どれだけ痛いかを正確に伝えられないのが一例でしょうか)、数字というものは、実は物の量を全て正確に記載できるものではないのです。円周率だって、直径1の円の円周の長さだといえば正確な定義ですが、これを小数や分数を用いて表記することはできません。 1と2の間には値がないものとして取り扱う数学を離散数学と呼び、コンピューター設計の第一歩となりますが、その間にも数はあるんだという理解の元に離散数学を修めれば、一角の人物になれること請け合いです。 今後もお子様の疑問に応えていくこと、大変とは思いますが、頑張ってください。
お礼
ご回答有難うございました。 早速 matsu_jun 様のご回答をワードにコピペさせて頂きました。 帰宅しましたら一緒にしてみます。 いつも 『しつこい！』と怒られる事ばかりの息子ですので matsu_jun 様からのお言葉が 自分の好奇心に対する肯定感や励みにつながる事と思います。 すごく頭が切れて好奇心も旺盛…という子なら安心なのですが、 あまり頭が切れない(特に記憶力に問題ありで…)のに あれこれ疑問ばかり持つもので どうしても親は 褒めるより怒る方に向かってしまいます。 プリントアウトして 硬質ファイルに入れてあげたいと思います。 有難うございました。
まず、あなたのお子さんがそのようなことを不思議だと思える感覚を大切にしてあげてほしいと思います。 「学校で習ったから1/3は0.3333…なんでしょ」で終わりにしてしまうのではなく、1/3を小数にしたときに３が無限に続くことを不思議に思い、３が無限に続くにもかかわらずケーキを三つに分ければそれが有限の大きさになることを不思議に思う。これは素晴らしいことだと思います。算数や数学の才能のある人の方がそういう感覚を持っているのではないでしょうか。 だから、お子さんが不思議に思っていることに対して周りのおとなが「これはこういうことなんだよ」とあっさり説明してしまうのはあまりいいことではないでしょう。お母さんも一緒に「ほんとに不思議だねえ。どうなってるんだろうねえ」とその不思議さを味わうのがいいのではないでしょうか。 ただ、ちょっとだけ書いておくと、小数がずっと続くからと言って「等しく分けられない」ということはありません。等しく分けるというのはどれも同じになるということですから、例えば１キログラムのケーキを三等分すればどれも0.33333…キログラムになります。どれも同じ重さですね。 確かに、無限に続かない小数で切ると三等分はできません。例えば小数第４位までの小数で三つに分けるとすると、0.3333キログラムと0.3333キログラムと、そしてもうひとつは0.3334キログラムになります。確かにこれは三等分になっていません。しかし、三つとも0.3333…キログラムなら三等分になっているのです。 では、三等分したこのケーキをくっつけてひとつにしたらどうなるでしょう。 分数で考えれば1/3キログラムが三つですから1/3＋1/3＋1/3＝１キログラムですね。もとに戻ったわけです。 では小数で考えたらどうなるでしょう。0.33333…キログラムが三つですから0.33333…＋0.33333…＋0.33333…＝0.99999…キログラム。あれれ、もとの１キログラムに戻らない？ でも、切ったものをまたくっつけたのですから絶対に１キログラムあるはずですよね。ということは、0.99999…と１は同じものだということになります。無限に数が続く小数を考えるとなんだか大きさが曖昧なように思えますが、0.99999…キログラムは実は１キログラムというきっちりした大きさなんですね。 だから、0.33333…キログラムも1/3キログラムというきっちりした大きさだということになります。0.33333…キログラムずつに分けるということは、1/3キログラムずつに分けるということと同じなのです。 もちろん、こう考えたからといって無限に続く小数の持つ不思議な感覚がなくなるわけではありません。無限というのは基本的に不思議なものなのですから。
お礼
ご回答ありがとうございまいた。 昨夜 個包装の羊羹をくっつけて 自分なりになっとくしておりました。 帰宅しましたら redgarbera 様 のこのご回答を そのまま読ませてあげようと思います。 自分の考え方がまちがっていないのを再確認できて 喜ぶことと思います。 ただ、やはり １０進法だと永遠に循環小数なので 循環小数をみていると ブラックホールに吸い込まれていく感じなのだそうです。 『あ。ブラックホールに吸収されると素粒子だ!』 （とかなんとか…正しいかどうか母にはわかりませんが） と つぶやいておりました。 ありがとうございました。
- GIANTOFGANYMEDE
- ベストアンサー率33% (539/1630)
お子さんは天才かもしれませんね。 あるいは天才ではないにしても非常に勉強向き。将来は数学者かも。 お子さんの疑問は算数的というより数学的な疑問です。 数学とは抽象概念です。 ある意味、現実には存在しないような理想状態を考える学問です。 たとえば「真の球」はこの世に存在しません。 サッカーボールは球に見えますがよく見ると凸凹があります。 ベアリングのボールは真球に最も近い人工物の一つですが、これも「近い」だけで真球そのものではありません。 物は原子の集まりである以上、極限まで細かく見れば必ず凸凹があり真球にはならないのです。 > ３等分にしてるつもりでも 本当は３等分にはなってないんじゃない？ ですからこの考えはある意味正解です。 現実には「真の３等分」は存在しません。 でもそれを言い出したら問題が複雑になってしまいます。 「ケーキを３等分にしました。多少大きさは違います」と言ってしまったら算数の問題にならないでしょう。 「誰が一番大きいケーキを食べるか」という極めて現実的な問題に直面するだけです。 だから現実にはありえないけど、考えやすくするために「真の３等分」があるもの、ケーキを「３分の１＝０．３３３３３……」に切り分けられるものとして問題にしています。 「リンゴ２つ」だって完全に同じリンゴではないでしょ。でも問題の中では完全に同じ形、同じ重さのリンゴだとしているのです。 算数（数学）はそうやって理想状態があるものとして考えます。 > １÷３＝３・３３３３… これは「０．３３３３３……」の間違いですね。 ところで、「０．３３３３３……」を３倍するとどうなるでしょう？ ０．３３３３３……×３＝０．９９９９９…… あれ？１を３で割ってまた３を掛けたのに１になりません。おかしいですね。 実は「０．９９９９９……」は「１」なのです。 これは判りにくいでしょうが数学的にはそうなのです。 数学にはこういった不思議なことが一杯あります。 > 小数や分数の概念の基本的な部分が欠如しているからなのでは。 むしろ逆だと思いますよ。 そもそも小学生で「概念」を理解できる子はいないでしょう。 先生に言われたことをそのまま受け入れているだけです。 でもお子さんは違います。 先生が言っていることと現実との齟齬を的確に突いている上、理解できないことをそのままにしておけない探究心も持っています。 これは非常に大切なことです。 ある意味、抽象概念を仮想的に現実に当てはめて（←変な言い方ですね）考えようというのが失敗の元です。 厳密にはケーキやチーズを３等分などできない。全くその通りです。 だったら最初から概念として３等分を取り扱うほうがお子さんのような正当な思考をする子には合っているのかもしれません。
お礼
ご回答ありがとうございました。 息子に対するお褒めの言葉 ありがとうございます。 息子にはいつも叱責。 こちらのサイトでも 質問のあまりのしつこさに 子育て自体を心配されるご回答もいただいたりしておりますので 明るいきもちにさせて頂けました。 もともと息子の脳みそは理科系と申しますか (アスペルガーではないのですが…微妙なラインの子なのかもしれません。算数の計算は早いという程でもありません。) [学校や塾で教わる算数]でつまづく様な事は全くないのですが 仰る様に 以前… 例えば[りんご]を題材としましたら、 『これ 説明おかしいよね。 本当はりんごみんな大きさも重さもちがうのに。』 『大きさも重さも全く同じのクローンりんごがあります。とか書かないと。そういう事でしょ。』 と つっこんでおりました。 定義がはっきりしないまま話がすすんでいくのが嫌 らしいのです。 他にも… 図形の面積の外縁の面積も気になるらしくて… 答えはだせるのだけど ふっと 線の面積が気になる。 考えれば考えるほど気になるらしく ぼ～っと椅子に座っています。 この間は 何でぼ～っとしているのか聞くと 『四次元のグラフはどうやって描くのかなって…。』 そんな事をぼ～っと考えている時間があるなら 学校のお勉強の苦手な暗記物や漢字をしてほしい。いくら時間があっても足りないのに。 と イラッとしてしまう母です。 『そんな事考えていても答えはでないよ。 とりあえず言われる様に学校のお勉強していたら 大きくなってからわかる様になってるはずよ。』 『子どもがすぐに理解できる様な事ばかりじゃないから、そういうものだと思って 大きくなって理解できるまで そんなものだと思っていなさいよ。』 などと 何度も言い聞かせてはいるのですが… もやもやっとする度に （こちらのＯＫwaveで味をしめてから）『おじさんたちに教えてもらって』と聞いてきます。 （そんな事質問できないよ…。というのも多いのですが） ＯＫwave の皆様には お世話になりっぱなしですが 何卒よろしくお願い致します。
- feles_c
- ベストアンサー率42% (18/42)
> １０cm３人でわけるでしょ。 > ここが３センチで…で３人に分けて １cmあまりました。 また１cmを３で割って ０・１cm。さらに０・> ０１cm…。 > これが無限に続くってことでしょ。 そうですね、無限に続きますね。途中の3.33 も 3.333333も 3.33333333333333333 も10/3ではない。 でも、10/3との差は確実に小さくなっていきますよね。 無限小数の3.3... は、3を並べたことであらわせる数ではなくて、そう並べてたどり着こうとしている先の数を言っています。 1億分の１より小さくしできるかって、3.333333333 までやればいいでしょ。1兆分の１より小さくするの？ 3.333333333333 。 ほら、どんなに小さい値を言われても、それよりも差は小さくなるのだよね。... ってことは、3.3333と無限に続けてたどり着こうとしている先は他ならぬ10/3 だということになります。 大学の解析学の授業で最初に数の定義やら数直線の切断とか小難しい話をしますが、そこに通じるような話かと思います。
お礼
ご回答ありがとうございました。 無限に辿りつこうとしているその先！ なんだか ロマンチックです。 feles_c 様からのご回答も含め この度の皆様からのご回答全部 プリントアウトして息子に渡します。 循環小数や分数だけではない 何か息子が日ごろ感じている算数の不思議さにつながる(算数・数学に素養がおありの)大人からの [スパーク]が沢山つまったご回答だと感じました。 ありがとうございました。
- 178-tall
- ベストアンサー率43% (762/1732)
>…循環小数が分数で表され 等分にわけられっこない物が [１/3づつ] の様に分数で書かれる事にも納得がいかない… 10 進法表記の 1/3 は、3 進法だと 1/10 。3 進法表記の小数なら 0.1 で、「非」循環小数になる。 たとえば、ケーキを 3 人でわける場合なら？ いきなり 3 等分カットするのが 3 進法的分配で、「非」循環的。 まず 10 等分して、3 人に 3 つずつわけると、1 つ残る。 残った 1 つをさらに 10 等分して、3 人に 3 つずつわけると、またまた 1 つ残る。 残った 1 つをさらに 10 等分して…と延々と循環的カットが続きます。
お礼
ご回答ありがとうございました。 非常に要約されたご回答だとわかりました。
- ミッタン（@michiyo19750208）
- ベストアンサー率15% (3898/25697)
確か… 少数を先に習って分数でしたっけ？ もう、30年前以上の記憶ですし、私は公文で先に習っていたので詳細は忘れましたが… 息子さんの疑問はよく解ります そのために「分数」があるんです 同じケーキでも10cmのロールケーキなら10÷3＝3.33333333・・・ となりますね しかし1個のホールケーキなら1÷3＝0.33333333・・・ ですが、こちらは都合のいいことに360°÷3＝120° 割り切れてしまいます 割り切れない数字を「分かりやすく」「簡略」に表す方式が「分数」です ※5年生になると大きな数の分数を習います 通分・約分が複雑になります ここでコケてしまうと数学嫌い決定です 気をつけてください
お礼
ご回答ありがとうございました。 昨夜 ケーキやカステラは 三等分できていて １０進法表記の数字の上で 永遠に割り切れないみたいな 不思議な事になってしまっているだけ。 と 納得して就寝しました。 今朝 ケーキ三等分は 10進表記小数では 気持ち良い数で表せない。 だから分数をつかう。 →でも 度数法だと 気持ちよく 割り切れる。 と ロールケーキ＆ホールケーキの例を話してやりましたら 『あ～それあり～？！』 と やられた感で 悔しがっておりました(笑)。 お陰様で 自然現象を数で表そうとすると どの表記法をとるかで変わってくる という感覚を すっきりくっきり 意識できた様でした。 ありがとうございました。
- ImprezaSTi
- ベストアンサー率26% (534/1995)
考えが、逆。 自然現象を数字で、しかも有限の桁数で無理に表現しようとするからです。周りにあることは、基本、限られた数字で表すことが出来ないものです。 が、それでは不便なので、分数や小数で表しているだけです。
お礼
ご回答ありがとうございました。 自然現象を限られた数字で表すことができないから。 ＝ケーキ三等分は 10進表記小数では 気持ち良い数で表せない。 ＝だから分数をつかう。 と… 皆様のご回答を拝読し 息子につたえました所 アルキメデスのユリイカ の様な状態でした。 ありがとうございました。
お礼
ご丁寧な回答をありがとうございました。 早速 記数法の事を息子に説明しましたら 『あっ あ～～ わかったわぁ～！』 と 納得しておりました。 『〇○(息子の名前)って ばかだぁ…。』とも。 まさに [膝を打つ] という表現がぴったりの 納得の仕方でした。 3等分を １０進法にとらわれて 0.1を0.０3づつにわけて さらに残った0.01を0.003に分けて さらに… と考えていたおバカな自分に はっと気がついた様です。 （と申しましても その母もですが 苦笑） 『カステラはちゃんと3等分されてるんだよ ママ！』 個包装の羊羹を3個ならべて、 『これを溶かして１本にするでしょ。もともと3個のものなわけよ。 だから ちゃんと３個に等分できてあたりまえ。 3進法だと…０・１・２・１０…。3分の1は 0.1 になるわぁ～。ママわかる？』 と講釈しておりました。 （「ママわかる？」じゃないでしょ。君に私が伝えてるんでしょ！） チーズではなく羊羹でしたが しっかり (頭の中で) 溶かしてました…。 すっきりした様です。 ありがとうございました。