・・・999999 = -1を示す方法

質問

とある本で

・・・999999 = -1
（・・・の部分には無限に9が並びます。つまり無限桁の数です）

という話が出てました。
その本では無限等比級数の和からこの式を導出していたのですが、
この等式を導出する他の方法は存在するのでしょうか？

1つ思いついたのが、『循環小数を分数に変換する方法』です。

x = ・・・999999　（1）
とおき、
10x = ・・・999990　（2）
を作って、（1）の両辺から（2）の両辺を引くと
-9x = 9
両辺を-9で割ると
x = -1
よってx = ・・・999999から、
・・・999999 = -1

といった方法です。

この方法で・・・999999 = -1としても良いのか？（説明に穴がないか？）
また、他に・・・999999 = -1を示す方法がないか？
この2点について教えてください。

回答No.3

pontiac_gp · ベストアンサー

ここは余談。
コンピュータで使う２の補数表現ならば、例えば符号付き2バイト表現のとき
-1はFFFF となります。ちょっと似てるかも。

さて本題。質問者さんは、
1 = 0.9999… の初等的な証明と同様の方法を使って…9999 = -1を証明したのに、
前者はOK、後者はNGなのが気持ち悪いということですよね。

1 = 0.999… の証明はこんな感じですね。
x = 0.999… (1) とおくと
10x = 9.999… (2) だから
(2)から(1)を引いて 9x = 9
よって x = 1

ここで(2)から(1)を引くときに、右辺は各桁での引き算を行っています。
(1)の右辺は0.9, 0.09, 0.009 … と続く数列の和の極限です。
(2)の右辺は9, 0,9, 0.09, 0.009 …　と続く数列の和の極限です。
右辺の各桁を引いて9になるという論法は、実は、
「極限の差（9.999… - 0.999…）」と「差の極限（各桁を引いた結果の極限である9）」を
同一視してよいことが前提なのです。

数列{an}{bn}がともに収束するならば
lim[n→∞](an - bn)= lim(an) - lim(bn)

という定理を見たことがないですか。
この「ともに収束する」という前提はここで生きているのです。
0.999… は （1になるかはわからないけど）有限確定値であるから、
それをxとおいてよいし、各桁で引き算してもいいのです。
いわゆる初等的な、中学生に説明するような証明の時にはこの前提は省略しているだけです。

一方…9999 = -1の証明はどうでしょう。
そもそも左辺は有限確定値ではないのでxとおけませんが、それでも無理やり置いたとします。

x = …9999 (3)
10x = …99990 (4)

ここまでは仮に認めたとしても、(3)から(4)を引くときに
右辺は 単に…9999 - …99990 であって、これを9とできないのです。
それは各桁で引き算できない、すなわち
xが有限確定値ではないために極限操作と減法を入れ替えられるとは限らないからです。

お礼

回答ありがとうございます。

> コンピュータで使う２の補数表現ならば、例えば符号付き2バイト表現のとき
> -1はFFFF となります。ちょっと似てるかも。

私もそう思いました。
ついでに-2 = ・・・999998が、2の補数でFFFEとなるとか、
なんだかこの無限に続く数は2の補数との類似点が多く見られます。

・・・999999 + 1 = 0
となるのを示す計算式が本に載っているんですが、
2の補数の加算回路の演算方法と同じでした。

> 1 = 0.9999… の初等的な証明と同様の方法を使って…9999 = -1を証明したのに、
> 前者はOK、後者はNGなのが気持ち悪いということですよね。

質問した時点ではNGだということは知りませんでした。
ただ、1 = 0.999999・・・の話（と示し方）は良く出てくるのに、
同じ方法で-1 = 999999・・・の話（と示し方）をしないのは
変だなと感じていたんです。

> 右辺の各桁を引いて9になるという論法は、実は、
> 「極限の差（9.999… - 0.999…）」と「差の極限（各桁を引いた結果の極限である9）」を
> 同一視してよいことが前提なのです。

よく分かりました。
やはり無限を扱うのは難しいですね。

回答No.7

dfhsds

http://www.math.kyoto-u.ac.jp/~kato/Data/p-adic02.pdf

に書いてあることの受け売りですが。

・・・999999.
などのように左側に数字が続く数は、無限10進数などと呼ばれます。
それによると、
-1:=・・・999999.
というのは記号の書き換えみたいなものです。

普通は、素数pを取って、p進数体を考えたほうが、理論が簡潔になります。

ただ、
・・・999999.
という「数」を、無限10進数と解釈する方法と、どなたかがおっしゃっていた9/(1-z)という複素関数を解析接続して、z=10のときの値と解釈する方法の関連性は僕はよくわかりません。

お礼

返事が大分遅れてしまい、申し訳ありませんでした。
p進数について、いつかちゃんと調べてみたいです。

回答ありがとうございました。

回答No.6

at9_am

＃５の方の参考 url を見ました。

普通一般に使われている実数とは定義が異なっているみたいですね。
要するに、円を考えて、359°= -1°とするようなもの、ですか？

問題は、通常使われている実数に 360°に相当する数値が存在するかどうか、という事になるんでしょうけれども、数学の世界では存在することになっているようですね。

個人的には、＃５の方同様「実に気持ちの悪い」ことです。

お礼

返事が大分遅れてしまい、申し訳ありませんでした。

> 個人的には、＃５の方同様「実に気持ちの悪い」ことです。

私は初めて虚数の存在を知った時のような気持ちになりました。
完全に納得しているということではないんですが、
面白い考え方だなと思ってます。

回答No.5

eatern27

むか～し、何かを検索している時に、偶然見つけて、面白い考え方もあるんだなぁ、と思ったのを思い出しました。検索してみたらまだそのサイトが残っていました(参考URL)。

絶対値というのは、「０との距離」を表すものですが、この「０との距離」を絶対値とは違う方法で定義して、9よりも90が,90よりも900が,900よりも9000が「０に近い」という状況を作る事ができたとすれば(できたので)、
・・・999999 =9+90+900+・・・
が「収束する」という話なんだと思います。

でも、ホントにこれで問題ないのかなぁ、というのが正直な感想です。問題なかったとしても、実に気持ちの悪い考え方です(笑)

あ、でも、もしも・・・394035のような無限大数(？)の集合に、何らかの位相を定義したことになっているのであれば、その位相で考える限り、
1+x+x^2+・・・=1/(1-x)
が(普通の意味での)|x|>1でも正当化される、という事にはなるのかもしれません。その辺の事情は何も知りませんが。

参考URL：

http://www.rd.mmtr.or.jp/~bunryu/mugentaisu3.htm

お礼

回答ありがとうございます。

> 絶対値というのは、「０との距離」を表すものですが、この「０との距離」を絶対値とは違う方法で定義して、9よりも90が,90よりも900が,900よりも9000が「０に近い」という状況を作る事ができたとすれば(できたので)、
> ・・・999999 =9+90+900+・・・
> が「収束する」という話なんだと思います。
>
> でも、ホントにこれで問題ないのかなぁ、というのが正直な感想です。問題なかったとしても、実に気持ちの悪い考え方です(笑)

距離の概念を変えてしまおうという発想が出てくることに驚きです。
本には「10進距離」と呼ばれる距離の話が出ていますが、
機会があればこの分野も調べてみようと思います。

確かに気持ち悪い感じもありますが、同時に面白いとも思っています。

回答No.4

kabaokaba

>中央公論新社の『数学する精神』（加藤文元著）という本の
加藤文元さんですか．幾何系の方ですね．

これも
>「1を無限に足すとマイナスになるというのは本当か」
というのと根っこは同じ話です．

等比級数の公式，|r|<1 のとき
a+ar+ar^2+・・・・= a/(1-r)
でですね，
左辺は当然 |r|<1 でないと有限確定ではないです．
一方，右辺は r≠1 でなければ定義できます．

つまり，左辺の和を F(r) (|r|<1) とおいて，
右辺の関数を G(r) とでもおくと
G(r)の定義域の方が大きいので，
F(r)というのは，G(r)の定義域を |r|<1 に制限したと
考えることができます．
これをひっくり返すと
F(r)の定義域を「拡張したもの」がG(r)なわけです．

ということで，a=9，r=10なんて値をいれてしまうと
G(10) = 9/(1-10) = -1
なわけです．これは何にも問題なし．
そして，ここがミソなんですが，
G(10)=F(10)と考えると，
・・・9999=9+90+900+9000+・・・=F(10)=G(10)=-1
（本当はは左側の三つの = はまずいんだけど）

これは一種の「標語的な表現」だと考えてください．
ここでの「足し算」の意味は普通とは違います．
確かに |r|<1 では普通の足し算と同じなんですが，
そうではないところでは違ってて，
G(r)の方で値を定めると考えたほうがいいでしょう．
もちろん「普通の意味」ではこんな式は成り立ちませんが，
成り立つようにも正当化できるのです．

この正当化そのものは厄介です．
大学の数学科にいくと多分学部三年生くらいで
「複素解析」っていうのをやりますが，
大抵はそのカリキュラムの後半の方にでてくる
「解析接続」ってのがあります．
そこら辺の議論でうじゃうじゃ処理することになります．
＃「普通なら定義域の拡張の仕方は一意ではないが，
＃ある条件下では一意になってしまう」という稀有な性質があるのが
＃ポイントになる．

お礼

回答ありがとうございます。

> F(r)というのは，G(r)の定義域を |r|<1 に制限したと
> 考えることができます．
> これをひっくり返すと
> F(r)の定義域を「拡張したもの」がG(r)なわけです．

このあたりがすんなりと受け入れられれば良いんですが、
まだ半信半疑の状態です。
納得するにはまだ時間がかかりそうです。

> この正当化そのものは厄介です．
> 大学の数学科にいくと多分学部三年生くらいで
> 「複素解析」っていうのをやりますが，
> 大抵はそのカリキュラムの後半の方にでてくる
> 「解析接続」ってのがあります．

一応複素解析の授業は取りましたが、
数学科ではないせいか、授業ではそこまで扱いませんでした。
授業をとった時期も2年の時でしたし。

時間が取れれば、自分でこの分野をもう一回勉強してみようと思います。
お勧めの参考書などがあれば教えていただけると嬉しいです。

回答No.2

dfhsds

・・・999999 = -1を示す方法

両辺を２乗したら１になるから。

テイラー展開と漸近展開に類似して、
小数展開とその無限ケタ展開とでもいうべきものに正当性を持たせることができます。

お礼

回答ありがとうございます。

> 両辺を２乗したら１になるから。

違う数に見えても、2乗すると・・・0000001 = 1となるところが
とても不思議に思えます。

> テイラー展開と漸近展開に類似して、
> 小数展開とその無限ケタ展開とでもいうべきものに正当性を持たせることができます。

申し訳ないのですが、この2行の意味が良く分かりません。
「漸近展開」と「無限ケタ展開」の言葉の意味から分かっていないです。
「漸近展開」は検索して幾つか見つかったので多分大丈夫ですが、
「無限ケタ展開」とは、・・・999999のように、無限に続く数の事を指しているのでしょうか？
文脈もきちんと把握できていないので、
できればそこをもう一度解説して下さるとありがたいです。

回答No.1

at9_am

Σ[n=0 ∞] 9*10^n = -1
は成立しません。

無限大に発散するものが -1 という数値に収束するということ自体、おかしな話です。

x= ・・・9999
とおくと、
10 x - x = 9x = -9
になりますから
9 x = -9
したがって x = -1

という説明をしたいようですが、誤りです。

a_n = Σ[k=0 n] 9*10^k
とおくと、
10 a_n - a_n = 9 * 10^(n+1) - 9
となります。したがって R_n = 9 * 10^(n+1) とおくと
9 a_n = - 9 + R_n
となります。n→∞のとき、R_n が０に収束するなら問題はないですが、この問題の場合 R_n は無限大に発散します。

お礼

早速の回答ありがとうございます。

> 無限大に発散するものが -1 という数値に収束するということ自体、おかしな話です。

そうなんです。おかしな話なんです。
それなのに・・・999999 = -1という結論が得られるのが不思議で
面白く感じたので、今回質問しました。

実は以前「１を無限に足すと」という質問がありました。
その質問内容は「1を無限に足すとマイナスになるというのは本当か」というものでした。
結局-1/2になるという結論になったみたいなんですが、私には理解できていません。

http://okwave.jp/qa3656843.html

> R_n が０に収束するなら問題はないですが、この問題の場合 R_n は無限大に発散します。

そうです。そもそも無限等比級数の和は、公比が1より大きければ
無限大に発散するんです。
ですが、この話が載ってた本では、
無限等比級数の和の公式(|公比| < 1の場合の式)に
無理矢理1より大きい公比を代入し、

・・・999999 = -1

という式を導出しています。
私も『変じゃないか？』と思いました。
なので、無限等比級数の和の公式を使わないで
・・・999999 = -1を導ける方法を探しています。

ちなみにこの等式が本当にあってるかは私にも分かりません。
ただ本に『・・・999999 = -1が合っている世界もある』と書いてあります。
書いてあるから正しいというわけではないんですが、
否定する前に、この不思議な等式について考えてみようと思っています。

ちなみにこの話が掲載されているのは、
中央公論新社の『数学する精神』（加藤文元著）という本の
第8章「倒錯した数」です。

引き続き、回答をお待ちしております。