方程式

質問

（１）50以下の正の整数で30とお互いに素の整数の個数は？

素はわかるのですが、30とお互いというのがよくわかりません。
30はどのように関係があるのですか？

（２）z=(-2＋2i)/((√3)＋i)のとき、複素数zの絶対値および偏角を求めるには？

有理かにして（√3）＋i＋(√3i)＋2になりましたがよくわかりません。

回答No.6

eatern27 · ベストアンサー

＞(cosα+isinα)/(cosβ+isinβ)＝cos(α-β)+isin(α-β)
＞の公式は参考書にはなかったのですがもしよろしければ解説してくれませんか？

教科書ならともかく、参考書に載ってなかったんですか。それは申し訳ないです。

1つの説明としては、
(cosα+isinα)/(cosβ+isinβ)
の分子分母に(cosβ-isinβ)をかけます(つまり、有理化します)。すると、分母が1になり、さらに分子に加法定理を使うとcos(α-β)+isin(α-β)となるので、

(cosα+isinα)/(cosβ+isinβ)＝cos(α-β)+isin(α-β)

という感じになります。

もう1つの説明は

(cosA+isinA)(cosB+isinB)=cos(A+B)+isin(A+B)

という公式(さすがにこれは載ってますよね?)にA＝β、B＝α-βを代入すると、

(cosβ+isinβ){cos(α-β)+isin(α-β)}=cosα+isinα

になります。さらに、両辺を(cosβ+isinβ)≠0で割れば、

(cosα+isinα)/(cosβ+isinβ)＝cos(α-β)+isin(α-β)

が得られます。

回答No.5

eatern27

＃1,3,4です。

(2)
絶対値と偏角を求めたいのですから、zを極形式で表せばいい、という事は分かりますよね？

この問題は、有理化してはいけません。有理化してから、極形式で表そうとすると、行き詰まってしまいます。

なので、繰り返しになりますが、分母と分子をそれぞれ、極形式で表します。具体的には

分子＝-2+2i＝2√2(cos135°+isin135°)
分母＝√3+i＝2(cos30°+isin30°)

という感じで表します。この後、

(cosα+isinα)/(cosβ+isinβ)＝cos(α-β)+isin(α-β)

という公式(?)を使ってください。

すると、最終的には、
z=√2(cos105°+isin105°)
となって、絶対値が√2で、偏角が105°とめでたく求まります。

補足

(cosα+isinα)/(cosβ+isinβ)＝cos(α-β)+isin(α-β)

の公式は参考書にはなかったのですがもしよろしければ解説してくれませんか？
cos(α-β)+isin(α-β)
になることを

すいません

回答No.4

eatern27

#1,3です。＃3の補足について。

その前に「互いに素」がどういう意味なのかは分かりますか？

分かる、という前提で話を進めます。例えば、
「10以下の正の整数で、2と互いに素な整数の個数は？」
と聞かれたら、1,3,5,7,9と「2の倍数でない数」を挙げますよね？

では「・・・、6と互いに素・・・」
という問題なら、1,5,7と「2の倍数でも3の倍数でもない数」を挙げませんか?

この辺りの類推から、「・・・、30と互いに素・・・」という問題では、
「2の倍数でもなく、3の倍数でもなく、5の倍数でもない数」を数えればいい、という事は分かりませんか？

分からなければ補足してください

補足

(1)についてはわかりました。
ありがとうございます。
（２）なのですが、
(-2＋2i)（√３－ｉ）/(√3＋i)（√３－ｉ）
分子＝－２√３＋２ｉ＋２√３ｉ－２（ｉ＾２）
　　＝－２√３＋２ｉ＋２√３ｉ＋２
分母＝３－（ｉ＾２）＝４

（－２√３＋２ｉ＋２√３ｉ＋２）／４　
＝｛（１－√３）／２｝＋｛（１＋√３）ｉ／２}

までしかわかりません。
極形式のページを見たのですがよくわかりません。
続きをおしえてくれませんか？

回答No.3

eatern27

#1です。

(1)
30を素因数分解すると,2*3*5なので、「30と互いに素な50以下の正整数」は要するに,

「50以下であって、かつ、2,3,5いずれの倍数でない正整数」

という事です。50以下なので、普通に数えていいと思います。

(2)
＃1にも書きましたが,
(-2＋2i)/((√3)＋i)
の分子,分母それぞれを極形式で表してみましたか？

(cosα+isinα)/(cosβ+isinβ)＝cos(α-β)+isin(α-β)
という公式がありましたよね?
極形式で表したら、あとは、これを使うだけです。

補足

(1)ですが、問題からなぜ50以下であって、かつ、2,3,5いずれの倍数でない正整数といえるですか？

理解がよくできなくて

回答No.2

noname#6715

「互いに素」でひとつの用語
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%92%E3%81%84%E3%81%AB%E7%B4%A0

z=(-2＋2i)/(√3＋i)
={(-2+2i)(√3-i)}/{(√3＋i)(√3-i)}
より
z=(-2√3-2)+(2+2√3)i/4
={(1+√3)/√2｝・(-1/√2+i/√2)となる気がします
よって
長さは
{(1+√3)/√2｝
偏角は
-1/√2=cos135°
1/√2=sin135°
ってことで135°です

補足

(1)はよくわかりません。

（２）ですが、参考書の答ににZ=√2,105度だそうですが、よくわかりません。

回答No.1

eatern27

「お互いに素」って・・・。普通は「互いに素」と書きますね。("お"はいらない)

「互いに素」とは要するに,公約数が１のみ、ということです。

50以下の正の整数で,30との公約数が1だけのものを数えてください。

(2)

z=(-2＋2i)/((√3)＋i)
の分母・分子をそれぞれ、極形式で表してください。何かがわかると思います。