組み合わせの全体と部分集合の全体は等しいか？
「組み合わせの全体」と「有限集合の部分集合の全体」は等しいと感じますが，この事に関する「証明」または「定理」は存在するでしょうか？
ご存じの方，教えて下さい．
以下が質問の内容の詳細です．
正の整数を，1, 2, 3, ....., n－1, n とします．この n個の正の整数の組み合せ（重複は許さない）の総数 N は，
N＝Σ[r＝1→n] n!/(r!(n－r)!)＝
＝n!/(1!(n－1)!) ＋ n!/(2!(n－2)!) ＋ n!/(3!(n－3)!)
＋・・・＋ n!/((n－1)!(n－(n－1))!) ＋ n!/(n!(n－n)!)
＝(2^n)－1 ですから，
N＝(2^n)－1 です．
そして，組み合せの全体そのものは，
(1)，(2)，・・・，(n－1)，(n)，
(1,2)，(1,3)，・・・，
(2,3)，(2,4)，・・・，
(1,2,3)，(1,2,4)，・・・，
(2,3,4)，(2,3,5)，・・・，
(1,2,3,4)，(1,2,3,5)，・・・，
(2,3,4,5)，(2,3,4,6)，・・・，
・・・・・，
(1,2,3,4,・・・,n－1，n)
となります．
次に，有限集合を S ＝ {1, 2, 3, ....., n－1, n} とします．
n は正の整数です．S の部分集合（真部分集合でない，かつ，空集合は除く）の全体は，
{1}，{2}，・・・，{n－1}，{n}，
{1,2}，{1,3}，・・・，
{2,3}，{2,4}，・・・，
{1,2,3}，{1,2,4}，・・・，
{2,3,4}，{2,3,5}，・・・，
{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，・・・，
{2,3,4,5}，{2,3,4,6}，・・・，
・・・・・，
{1,2,3,4,・・・,n－1，n}
となります．
これらの S の部分集合の全体は，集合の元の構成が組み合せの全体と等しいですか？
分かる方，教えて下さい．お願いします．
お礼
やっと分かりました^^/。ご指摘のとおり、φ関数のケースです。 どうも有難うございました。