積分 媒介変数表示された曲線

質問

ｔ＝cosθとおくと、
（cosθ）’ｄθ＝ｔ’ｄｔ
となるのはどうしてそいういえるのか。
わかりやすく説明できる人はいませんか。

ある参考書のｐ２２３の説明の中で出てくるものです。

よろしくおねがいします。

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

本来は「全微分」の考え方そのものです。
「全微分」を教科書・参考書で調べるか、またはネット上で検索してみて下さい。

[説明1]　簡単な説明
ｔ＝cosθ
両辺をθで微分すると
d(t)/dt・dt/dθ=d(cosθ)/dθ・dθ/dθ
両辺に微小な増分dθをかけると
d(t)/dt=(t)', d(cosθ)/dθ=(cosθ)' とおくと
であるから
(t)' dt=(cosθ)' dθ
といえます。

[説明2]　本来の説明

左辺に全部移項して、左辺をθとtの2変数関数f(θ,t)とみなします。
f(θ,t)=cosθ-t=0

全微分をとると
df(θ)=∂f/∂θ・dθ+∂f/∂t・dt
=∂(cosθ)/∂θ・dθ-∂(t)/∂t・dt=0
∂(cosθ)/∂θ=(cosθ)', ∂(t)/∂t=(t)' とおくと
(cosθ)' dθ-(t)' dt=0

移項すれば
(cosθ)' dθ =(t)' dt
がいえます。

お分かり？

補足

つまり高校の微分積分ではなく大学の内容ということでしょうか。

なんとかやってみます。

回答No.3

ki-inage

ｔ＝cosθとおくと、
（cosθ）’ｄθ＝ｔ’ｄｔ
となるのはどうしてそいういえるのか。
わかりやすく説明できる人はいませんか。

ｔ＝cosθ これをθで微分すると
dt/dθ=(cosθ)'となります。
ここでdt/dθは形式的に　dt割るdθとなるのです。
dt＝(cosθ)'ｄθ

回答No.2

ki-inage

ｔ＝cosθとおくと、
θで微分すると
ｄｔ/ｄθ=(cosθ)'となります。
この場合dt/dθ　はｄｔ割るｄθと考えれば良い
故に両辺にｄθをかければ（cosθ）’ｄθ＝ｄｔとなります。