不定積分を求めよ

質問

∫cos(1-2x)dx = -1/2sin(1-2x) +C　（どこから-1/2がでてきたのか）

∫√(5x-1)dx = 2/15(5x-1)√(5x-1) + C　（なぜ、最後に√(5x-1)を掛けるのか、自分で解くと、2/15(5x-1)^3/2 + C　となります。）

ご教示お願いします。

回答No.1

noname#215361 · ベストアンサー

左辺から右辺への積分が分からなかったら、右辺から左辺への微分を考えましょう。

y=sin(1-2x) と置いて、y=sinu、u=1-2xとすると、
dy/dx=dy/du*du/dx=cosu*（-2)=-2cos(1-2x)
ここで-2が出てくるので、簡単には帳尻合わせのために-1/2が必要になります。

(5x-1)√(5x-1) =(5x-1)^(3/2)で合っています。
(5x-1)√(5x-1) =(5x-1)^(3/2)と置いて、y=u^(3/2)、u=5x-1とすると、
dy/dx=dy/du*du/dx=3/2*(5x-1)^(1/2)*5=15/2*(5x-1)^(1/2)
ここで15/2出てくるので、簡単には帳尻合わせのために2/15が必要になります。

これは、合成関数の微分の逆ですが、多くの問題をこなして慣れることが必要だと思います。

回答No.3

ki-inage

こういう時の解決方法は文字を置き換えることです。この場合は
1-2xをｔとします。dt/dx=-２、又はdx=-1/2dtと成ります。
現式はインテグラル内は-1/2cos(t)dtに成ります。これを積分すると－1/2sin(t)+c
即ち-1/2sin(1-2X)+c　ｃは積分定数となります。
この場合もルート5x-1　例えばtとします。
t/^2=5x-1ですね？
これおｘで微分します。2tt'=5 又は2tdt/dx=5　　即ちdx=2/5tdtです。
これにより現式は2/5t^2をtで積分することに成ります
答えは2/15(5x-1)/^3/2+cと成ります。
これらの場合文字を置き換えるのが最適です。
例えば積分において（a^2-a^2sinx^2)^1/2の場合a=asinx とか　、極限値を求める場合
例えば
sinx(cos(x/2)-1)/sin(x/4)^2のxが0に近づいた場合の極限値を求める場合例えばx/4をtに置き換えた場合現式は
sin4t(cos2t-1)/(sint)^2となります。この場合殆ど三角関数の極限値を求める場合sinx/ xが０に近づいた場合１に収束する。これに持ち込むか？いかに文字を置き換えるか数学では大切なことです。
その場合機械的に計算できるのが最大のメリットです。

回答No.2

noname#215361

ANo.1の訂正です。

誤：「(5x-1)√(5x-1) =(5x-1)^(3/2)と置いて」→
正：「y=(5x-1)√(5x-1) =(5x-1)^(3/2)と置いて」