【至急】数A 条件付き確率

質問

ある大学の受験生のうち、全体の６４％が合格者で、全体の４０％が男子の合格者であった。合格者の中から１人選ぶとき、その人が男子である確率を求めよ。

この問題で、
・受験生全体から選んだ１人が合格者であるという事象をA
・男子である事象をB
とし、P(A)=64/100になるところまでわかったのですが
ここからがよくわかりません。

P(A⋂B)=40/100とわかる途中式、
そして、
そのあとの計算で
40/100÷64/100という式で、64/100で割る理由を教えてください！

テストが近いため、できるだけ早く回答いただければ幸いです。
あと、数学が苦手なので、できるだけわかりやすくお願いします。

回答No.3

petertalk

無理に条件付き確率で解こうとして、～の事象をA、などとして、
なんとか答えにたどり着いたとしても、
あまり理解して解いた感覚にならないのではないですか？

段階的に解説しますが、まず、条件付き確率で考えない、シンプルな解法からです。

① %のままで計算する

男子と女子を合わせた全合格者数は、全体の64%

このうち、男子の合格者は、全体の40%なので、
全合格者中の男子合格者の割合は、40%÷64% = 5/8

これがそのまま確率なので、これで終了です。

②具体的な人数を仮定する

% だとわかりにくいかもしれないので、
受験生全体が100人という具体的な数字にすると更に簡単です。

合格者は全体の64%なので 64人
男子合格者は全体の40%なので 40人

合格者64人中 40人が男子なのだから
合格者の1人を選んだとき、男子である確率は、40÷64 = 5/8

③条件付き確率で考える

＞40/100÷64/100という式で、64/100で割る理由を教えてください！

まずこの疑問からですが、
①、②では、答えを、男子合格者数÷全合格者数で求めています。
合格者の1人を選んだとき、男子である確率なので、当然ですよね。
これは条件付き確率でも同じです。

公式でも、P(B|A) = P(A∩B)÷P(A)なので、
P(B|A) = P(A∩B)÷P(A) = 男子合格者数÷全合格者数 = 40%/60%です。

ただし、そのためには、ご質問にあるように、

・受験生全体から選んだ１人が合格者であるという事象をA
・男子である事象をB

と定義しておく必要があります。

そしてこのご質問ですが、
＞P(A⋂B)=40/100とわかる途中式、

P(A)は64/100なのですぐわかると思いますが、
P(A∩B)は、男子、かつ、合格者である確率なので、
問題文中に、全体の40%だと数字が与えられています。
よって、この確率は 40/100とわかります。

事象Bの確率はわかりませんが、事象Bにこだわる必要はありません。

最後に、テストが近いとのことですが、
条件付き確率で解くと非効率な問題なので、
特に指定がなければ、シンプルに考えるほうがいいです。

回答No.2

maskoto

訂正
問題を読み間違いました

1つ目の質問について
集合A∩Bとは
男子かつ合格者
の集まりなので、男子合格者を意味します
ゆえに、全体から１人選んだときに男子合格者である確率P(A∩B)は
P(A∩B)＝40/100
です

２つ目
先程の回答同様、全体を100人として具体的な数字で考えてみると
模範解答の計算になることがわかります
これを一般化して文字で表すと　
Pa(B)＝男子合格者数÷合格者全体の人数
＝n(A∩B)÷n(A)
です
確率に直すために通分の要領で
分母と分子それぞれに
1/全体の人数
を掛け算すると
Pa(B)＝n(A∩B)÷n(A)
＝{n(A∩B)/全体の人数}÷{n(A)/全体の人数}＝P(A∩B)÷P(A)
となります

回答No.1

maskoto

集合(A∩B)は
合格者かつ男子の合格者
という意味です
ベン図など書いてみるとわかりますが
BはAの部分集合であるから
これらの共通部分はAとなります
すなわち、集合A∩Bと集合Bは
全く同じ集合と言う事
ゆえに
P(A∩B)＝P(B)＝40/100です

次　
これもベン図を見てみるとわかるかと思いますが
全体の人数を仮に100人とすると
合格者は64人で
男子合格者は40人です
このとき、集合の要素の数(集合に属する人数)について
n(A)＝64
n(B)＝40
このことから
合格者の中から１人選ぶとき、その人が男子である確率をPa(B)とすれば
Pa(B)＝男子合格者数/合格者全体の数
(＝40/64)
＝n(B)/n(A)
先程の関係を用いて
＝n(A∩B)/n(A)

となります
問題には確率の値しか与えられていないので
これを用いることにすると
Pa(B)＝40/64
＝40÷64
＝(40/100)÷(64/100)　←通分の要領で分母分子それぞれに1/100倍をした
＝P(A∩B)÷P(A)
となります
なお、
Pa(B)＝P(A∩B)÷P(A)
は条件付き確率の公式です