組み合わせと確率の問題です

質問

N人の人がいます。それぞれ報告書を出します。その報告書をいちど集めて、同じN人の人にランダムに配布して、チェックしてもらいます。そのとき自分自身の報告書に当たってしまう確率は1/Nで、逆に自分自身の報告書に当たらない確率は 1-1/N です。これを5回繰り返すとすると、同じ報告書を二度チェックすることはない仕組みにした場合、 (1-1/N)(1-1/(N-1))(1-1/(N-2))(1-1(N-3))(1-1(N-4))=(N-5)/N。たぶん、ここまでは合っていると思うのですが、ここからがよくわかりません。このように5回ランダムに配布された（ただし同じ報告書を二度以上、受け取らない仕組みで配布するとして）報告書をN人の人がチェックするときに、誰ひとりとして自分自身の報告書に当たらない確率は、どう求めればいいのでしょうか。N人それぞれの人が自分の報告書に当たらない確率は、相互に独立しているわけではないと思うので、((N-5)/N)^Nとはならないと思うのですが、それ以上、どうすればいいのかわかりません。教えていただければ幸いです。よろしく御願いします。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。
「相互に独立しているわけではない」のは正しいのですが…

＞そのとき自分自身の報告書に当たってしまう確率は1/Nで、
一人の人がというのであれば、それでいいですが、N人すべての人がとなると違ってきます。

たとえば、N人の人にN枚の書類を配る配り方は何とおりありますか？この数え方からしても違うことがわかると思います。そして、これが分母にくる値になりますね。

自分と異なる番号の書類が配られるというのは、「完全順列」を用いることになります。漸化式を立てるまでは高校数学の範囲で十分導き出せますが解くのは一苦労です。過去の質問にも出ているので、検索してみてください。
さらに、5回分となると、さらに複雑になりそうです。少ない場合で、考え方を整理していく必要がありそうです。

お礼

完全順列というのですね。勉強になりました。Wikiで、漸化式も見ました。ありがとうございました。難しいのですね。パソコンで、ちょいちょいと計算できるようなレベルではないのですね。。。