ビオサバールの法則、アンペアの周回路積分法則

質問

無限に長い直線導体に電流が流れているとき、導体からx[m]離れた点に発生する磁界の強さの求め方についてです。

電流をI、微小長さをdl、任意の地点と微小長さ部分の距離をr、微小長さ部分の接線と微小長さ部分と任意の点を結ぶ線の成す角をθとすると、任意の点における磁界の強さdHはビオ・サバールの法則より、
dH=Isinθdl/4πr2

xとlの関係をθで表すと、
tanθ=x/l
なので
l=x/tanθ
(1)ここのlは電流Iでしょうか？それとも微小部分lのことでしょうか？

xとrの関係をθで表すと
sinθ=x/r
なので
r=x/sinθ

lをθで微分すると、
dl/dθ=-x/sin2θ
なので
dl=-x/sin2θdθ
(2)ここのlは電流Iでしょうか？それとも微小部分lのことでしょうか？

よって
dH=Isinθdl/4πr2
　={I/4π(x/sinθ)2}sinθ(-x/sin2θ)dθ
　=-Isinθdθ/4πx

点Cから左の導体に流れる電流が点Bに作る磁界の強さHLは
HL=(-I/4πx)∫sinθdθ　【積分範囲π/2～0】
=I/4πx

点Cから右の導体に流れる電流が点Bに作る磁界の強さHRはHLに等しいため、HLとHRの合計のHは、
H=HL×2
=I/2πx

よって無限に長い直線導体がx[m]離れた点に作る磁界の強さは
H=I/2πx
となります。(3)ここのlは電流Iでしょうか？それとも微小部分lのことでしょうか？

参照http://denkinyumon.web.fc2.com/housokuteiri/biosaba-ru.html

(1)から(3)を、どなたか教えていただけないでしょうか？
よろしくお願いいたします。

回答No.2

remokon

以下のfig1.pngを元に書きます：
http://fast-uploader.com/file/6977828267873/

ビオ・サバールの法則を使って問題を解く時にすべきことがあります。
混乱を避けるために電流を表す"I"を、ここでは"デ"にします。

　　dH=デsinθdl/4πr2 ...(0)
それは、変数の数を少なくすることです。(0)の左辺はHだけですが右辺はデ, θ, l, rの4つもあります。これでは積分できません。

通常の微分方程式は
　　dy/dx = f(x)
を、変形して
　　dy = f(x)dx ...(1)
とした後、両辺を積分して
　　∫dy = y = ∫f(x)dx
です。とにかく(0)を(1)に変形することが先決です。

この題の場合はデ, θ, l, rの内デは変化ありません。よってθ, l, rです。(0)には"sinθ"があり、θがsinで使われているので、θに手を出すと面倒になりそうです。そこで
　　lをθで表す（dlをdθで表す） ...(2)
　　rをθで表す ...(3)
方法を考えれば、(0)の右辺はθだけの式になります。
以後"θ"の入力が面倒なので"th"にします。
なお、θ, l, rに数学的な関係が無ければそもそも変形のしようがありません（デは一定で定数だから、無関係）。図を見ると、lが変化するとrもthも同時に変化します。よって変形は可能だと思われます。

では変形です。最初に(2)を行います。
a/l = tan th
↓
l/a = cot th、
↓
l = a cot th
これをthで微分します。左辺はdl/dthになります。右辺はMaximaを使います。

(%i3) diff(a*cot(th),th)
(%o3) -a*csc(th)^2

これはdl/dth = -a*csc(th)^2なので、
　　dl = -a*csc(th)^2 * dth ...(4)
と意味は同じです。これで(2)は満たされました。

次は(3)です。
a/r = sin th
↓
r = a/sin th = a cosec th これはMaximaの表現ではr = a * csc(th) ...(5)
これで(3)は満たされました。

上で求めた(4), (5)を(0)に入れてみます。

デ*sin(th)*dl/(4*%pi*r^2), dl = -a*csc(th)^2 * dth, r = a * csc(th);

(%i3) ev(デ*sin(th)*dl/(4*%pi*r^2),dl = -a*csc(th)^2*dth,r = a*csc(th))
(%o3) -dth*sin(th)*デ/(4*%pi*a)

随分簡単になりました。そして予定通りにth（とdth）だけの式になっています。

なお、(2)の時に積分変数がl -> thに変更されていることから、積分区間も変更になります。

対応する積分区間
l : -∞から+∞
th: 0からπ

です。

では、上記区間で積分してみましょう。

デ*sin(th)*dl/(4*%pi*r^2), dl = -a*csc(th)^2 * dth, r = a * csc(th);
fth : %/dth;
integrate(fth, th);
integrate(fth, th, 0, %pi);

(%i3) ev(デ*sin(th)*dl/(4*%pi*r^2),dl = -a*csc(th)^2*dth,r = a*csc(th))
(%o3) -dth*sin(th)*デ/(4*%pi*a)
(%i4) fth:%/dth
(%o4) -sin(th)*デ/(4*%pi*a)

(%i5) integrate(fth,th)
(%o5) cos(th)*デ/(4*%pi*a)

(%i6) integrate(fth,th,0,%pi)
(%o6) -デ/(2*%pi*a)

面倒な計算はMaximaに任せ、要点だけに注目可能なように説明しました。
これが分かれば、今回の質問は出ないと思います。

数学的なこと、Maximaのことについて質問があれば受けます。

回答No.1

xpopo

まず、KazumotoTakuyaさんは　アルファベットの小文字「ｌ（エル）」と大文字「I（アイ）」を混同されてます。以下に回答します。

＞tanθ=x/l
＞なので
＞l=x/tanθ
＞(1)ここのlは電流Iでしょうか？それとも微小部分lのことでしょうか？

回答＞＞　ｌはエルです。I（アイ）ではありません。ｌ（エル）は点Bから導線へ垂直にのばした交点Cと点Aの間の距離です。

＞lをθで微分すると、
＞dl/dθ=-x/sin2θ
＞なので
＞dl=-x/sin2θdθ
＞(2)ここのlは電流Iでしょうか？それとも微小部分lのことでしょうか？

回答＞＞上で回答したようにｌ（エル）は距離を表しています。電流Ｉ（アイ）ではありません。

＞よって無限に長い直線導体がx[m]離れた点に作る磁界の強さは
＞H=I/2πx
＞となります。(3)ここのlは電流Iでしょうか？それとも微小部分lのことでしょうか？

回答＞＞ここでもｌ（エル）とＩ（アイ）を混同されてます。Ｉ（アイ）は電流で、ｌ（エル）は点Ａと点Ｃ間の距離です。