物理の問題

質問

図に示すように、一辺の長さl,質量M,抵抗Rの一様な導線4個からなる正方形のコイルabcdがある。このコイルは、辺adを通る水平な固定軸(x軸)のまわりに自由に回転できるように点a,dで支えられている。
また、このコイルには起電力Eの電池の＋極が点aに、－極が電流計を通して点dに抵抗のない導線で接続されている。
電池および電流計の内部抵抗、点aおよびdにおける接触抵抗は十分小さく無視できる。
また、コイルは変形しないものとし、導線の太さは無視できるものとする。
電流によって生じた磁界は無視する。

(a)点a,d間のコイルの合成抵抗は3R/4であるので、電流計に流れる電流は4E/3Rである。このうち辺ad部を流れる電流はE/Rであり、a→b→c→d部を流れる電流はE/3Rである。
(b)いま、加速度gの重力の作用のもとで静止していたコイルに、鉛直上向き(-z方向)に外部から一様な磁界をかける。
この磁界の磁束密度をBに達するまでゆっくり増加させたところ、コイルは+x方向をみて反時計回りに回転し、その面が+z方向と角度θをなして静止した。このとき、θを求める方程式はx軸のまわりの力のモーメントのつりあいの式よりtanθ=BEl/6MgRとなる。
(c)(b)の最後で考察したθ=45°の状態のもとで、コイルabcdの辺abおよびcdのそれぞれの中点eおよびfの間に、長さl,質量Mの一様で、かつまっすぐな導線を接触抵抗なしに接続したところ、コイルはθ=45°のまま静止していた。このとき点e,f間に接続した導線の抵抗は( A )である。

この問題で(A)についてですが、答えは2R/3となっています。

この答えを導くのに解答では
求める抵抗値をrとする。ef部の電流をi,ebcf部の電流をIとすると、キルヒホッフの法則より、i=2E/(2R+3r) , I=rE/R(2R+3r)となる。
x軸のまわりの力のモーメントのつりあいからBil・(l/2)cos45°+BIl・lcos45°-5Mg・(l/2)sin45°=0
B , i , Iを代入してr=2R/3としています。
ここでわからないのが、どのようにしてi=2E/(2R+3r) , I=rE/R(2R+3r)となっていますが、キルヒホッフの法則を利用しているのはわかりますが、それによってどのような式が成り立つのかがわかりません。
これらを導く計算式の過程をより詳しく教えていただきたいです。
わかる方がいらっしゃいましたら教えていただけると助かります。
よろしくお願いいたします。

回答No.1

ichiro-hot · ベストアンサー

キルヒホッフの法則の部分について
キルヒホッフの法則（違う言い方も有りますが次のように言っておきます）
１）回路の１点に流れ込む電流の和と流れ出す電流の和は等しい
２）任意の閉回路についてその回路内の電圧降下閉回路内の起電力に等しい。

以下、作図を自分でやってみてください。

（１）ｅ－ｆ（抵抗ｒ）・・・電流i
（２）e-b-c-f（抵抗R/２＋R＋R/2＝２R）・・・電流I
としたから
（３）a-e（抵抗R/２）・・・キルヒホッフの第１法則より電流（ｉ＋Ｉ）
　・キルヒホッフの第１法則より
　　a-eでeに流れ込む電流＝e-fに流れる電流＋e-bcfに流れる
　　　　＝（ｉ＋Ｉ）
（４）f-b（抵抗R/２）・・電流（ｉ＋Ｉ）
　・キルヒホッフの第１法則より
　　e-fからｆに流れこむ電流＋ebc－fからｆに流れ込む電流＝f-bに流れる電流
　　　　＝（ｉ＋Ｉ）
（１）～（４）の結果を用いて閉回路を作り第２法則を使う。
閉回路は６個作れるが次の２個が一番早くすむ。
（５）閉回路１：電源⇒a⇒e⇒f⇒b⇒電源（＋極をつないでループにして下さい）
　　この閉回路内の起電力：電源Eのみ
　　電圧降下：（R/２）・（i+I）＋ｒ・i＋（R/２）・（i+I)
　　　　　※電圧降下は各抵抗の電流×抵抗を足し合わせたもの
　　　　　　　抵抗a－e（抵抗値R/2電流i＋I）
　　　　　　　抵抗e-f（抵抗値ｒ電流i）、
　　　　　　　抵抗f-b（抵抗R/ ２電流i+I）
　　キルヒホッフの第２法則より
　　E=（R/２）・（i+I）＋ｒ・i＋（R/２）・（i+I)＝（R＋ｒ）・i＋R・I
（６）閉回路１：e⇒ｂ⇒ｃ⇒f⇒ｅ
　　この閉回路内の起電力：電源なし＝起電力０Ｖ
　　電圧降下：（２R/２）・I＋ｒ・（－i）
　　　　　※電圧降下は各抵抗の電流×抵抗を足し合わせたもの
　　　　　　　抵抗e-b-c-f（抵抗値２R電流I）
　　　　　　　抵抗e-f（抵抗値ｒ電流－i）
　　　　　　　閉回路を回る方向と電流が逆向き
　　　　　　　だから電流に－（マイナス）をつける

　　キルヒホッフの第２法則より
　　　０=２R・I＋ｒ・(-i）　　∴I＝i・r/２R
後は連立方程式をとくだけです。
これを（５）に代入：
　　　E＝（R＋ｒ）・i＋R・I＝（R＋ｒ）・i＋R・（i・r/２R）
　　　　＝（R＋ｒ）・i＋i・r/２
　　　∴２E＝（２R＋３ｒ）・i　より　ｉ＝２Ｅ/（２R＋３ｒ）
　　　　　I＝i・r/２R＝｛２Ｅ/（２R＋３ｒ）｝・ｒ/２Ｒ
　　　　　　＝Ｅ・ｒ/｛Ｒ・（２R＋３ｒ）｝

うまく作図してモーメント・ローレンツ力を使えば後は・・・
頑張ってください。

お礼

丁寧な説明をしていただきありがとうございました。
本当に助かりました。