量子力学の問題

質問

一次元ポテンシャル(x<0およびx>LでV(x)＝∞、0≦x≦LでV(x)=0)において、φ(x)=Asinkxのとき、x=0,x=Lでの境界条件は、φ(0)=φ(L)=0となる。
この境界条件からkを求めるには何をすればいいのですか？量子力学をはじめたばかりなので丁寧に教えていただければありがたいです。

回答No.1

c7qkhsyu · ベストアンサー

一次元のシュレディンガー方程式ですね。最初V(x)を有限な場合を考え、後で→∞。
状態のエネルギーをＥとすれば井戸の外は
φ''+2m(E-V)/(hbar)^2*φ=0
φ=constexp-kx x>L　　φ=constexpkx x<0
　k=√2m(V-E)/(hbar)^2
井戸内は
φ''+2mE/(hbar)^2*φ=0
E<Vでは井戸の外では指数関数的に0になります。
境界条件からφ'/φ=kを考え、外はV→∞
とすると境界はφ=0
φ''+2mE/(hbar)^2*φ=0の解は
φ(x)=Asinkxでkはすぐにわかりますね。
井戸が無限に高いと状態すなわち粒子は井戸の壁には侵入できないことです。

補足

式と式の間に説明を入れていただけないでしょうか。頭が悪くて申し訳ありません。

回答No.2

nobita2005

φ(x)=Asinkx　は、x=0の時は既に0なので、
もう一つの境界(x=L)だけ考えれば良いですね。

xにLを代入すると、φ(L)=AsinkL なので、
sinkL　が0になれば良いわけです。

sinθは、θが0,±π,±2π・・・　の時0ですから、

sinkLが0になるためには、
kL=0,±π,±2π・・・を満たせば良いですね。

もっと簡単に書くと、

k = nπ/L　(nは整数)

となります。

お礼

丁寧に教えていただきありがとうございました。なんとなく分かりました。