偏微分、積分の計算

質問

ｆ（ｘ、ｙ）＝∫（０→ｘ）u(ξ,0)dξ＋∫（０→ｙ）ｖ（x,η）する。
∂ｖ/∂ｘ＝∂u/∂ｙのとき、
∂ｆ/∂ｘ（ｘ,y)=u(x,0)+∫∂u/∂ｙ（ｘ、η）ｄη
u(x,0)+u(x,y)-u(x,0)＝u(x,y)とあるのですが、どうしてこうなるのかがわかりません。
おしえてください。

回答No.1

spring135

式の記載がいい加減です。正しく書いてください。

「f(x,y)＝∫(0→x)u(ξ,0)dξ＋∫(0→y)v(x,η)dη　　　(1)

とする。

∂v/∂x＝∂u/∂ｙ (2)

のとき、

G=∂f/∂x(x,y)=u(x,0)+∫∂u/∂ｙ(x,η)dη

=u(x,0)+u(x,y)-u(x,0)＝u(x,y) (3)

とあるのですが、どうしてこうなるのかがわかりません。」

(1)をxで偏微分すると

G=∂f(x,y)/∂x＝∂[∫(0→x)u(ξ,0)dξ]/∂x＋∂[∫(0→y)v(x,η)/]∂x=P+Q (4)

P=∂[∫(0→x)u(ξ,0)dξ]/∂x

Q=∂[∫(0→y)v(x,η)/]∂x

Pはuを積分して微分しているので元に戻ってu(x,0)になることはわかりますか。

P=u(x,0) (5)

Qはηで積分してxで微分しているので、微分と積分は独立、したがって

微分を積分の中に入れて、被積分関数に作用させることができて

Q=∂[∫(0→y)v(x,η)dη]/∂x=∫(0→y)[∂v(x,η)/∂x]dη

(2)により

Q=∫(0→y)[∂v(x,η)/∂x]dη=∫(0→y)[∂u(x,η)/∂η]dη

これはηで微分して積分しているので元に戻って

Q=[u(x,η)](0→y)=u(x,y)-u(x,0) (6)

(4)に(5)、(6)を代入して

G=P+Q=u(x,0)+u(x,y)-u(x,0)=u(x,y)

補足

回答ありがとうございます。
Q=∫(0→y)[∂v(x,η)/∂x]dη=∫(0→y)[∂u(x,η)/∂η]dηの部分ですが、∂v/∂x＝∂u/∂ｙ （２）ではないのでしょうか?∂v/∂x＝∂u/∂ηとできるのはどうしてでしょうか？