row reduction?

質問

行列の問題で、

「row reduction」という操作をしています。
これが、何のことだかわかりません。

問題は、３×３の行列A　と、　１×３の行列Bが、全て定数で示されています。
そして、AX=Bのとき、Xはなにかと問うています。

ROW　REDUCTIONという操作について、そのやり方を教えてください。

回答No.1

atomonados

penichiさん、こんばんは。専門家ではないですが参考までにどうぞ。

連立方程式

　ax+by+cz=d
　ex+fy+gz=h
　ix+jy+kz=l

は、AX＝B　で表されますね。ここで、

行列Ａ

a b c
e f g
h i j

列ベクトルX

x
y
z

列ベクトルB

d
h
l

です。逆行列Ａ^-1を求めて、X＝(Ａ^-1)Bとする方法もありますが、３元となると複雑です。

あるいは、ROW REDUCTION(行の還元)を試みる方法がありますよ、ということですね。これは、連立方程式の係数成分のみ取り出して、

(縦線がうまくそろいませんでした)

a b c │ d
e f g │ h
h i j │ l

と記しした後、

1 0 0 │ d'
0 1 0 │ h'
0 0 1 │ l'

と単位行列Eに還元していきます。なぜこんなことをするかというと、この記法の意味が、

1*x+0*y+0*z=d'
0*x+1*y+0*z=h'
0*x+0*y+1*z=l'

ということで、連立方程式の解を表すからです。

それでは例題をやってみましょう。

eg)

1 1 1 │ 2
0 -2 -1 │ -6
0 -2 0 │ -1

R2/(-2)⇒R2　(行2を-2で割ったものを新たな行2とする)

1 1 1 │ 2
0 1 1/2 │ 3
0 -2 0 │ -1

2*R1+R3⇒R3　(行1を2倍して行3に足したもののを新たな行3とする)

1 1 1 │ 2
0 1 1/2│ 3
0 0 2 │ 3

R3/2⇒R2　(行3を2で割ったものを新たな行3とする)

1 1 1 │ 2
0 1 1/2│ 3
0 0 1 │ 3/2

これは、

1*x+1*y+　　1*z　= 2
0*x+1*y+(1/2)*z　=　3
0*x+0*y+　　1*z　=　3/2

ということで、下から代入していき、

z = 3/2
y = 3-z/2 = 3-3/4 = 9/4
x = 2-y-z = 2-9/4-3/2 = -7/4

ともとめられますが、より機械的に加減法的方法を続けて、行列Aを単位行列Eに還元していくと、

1 1 1 │ 2
0 1 1/2│ 3
0 0 1 │ 3/2

から、

R2+(-1/2)*R3⇒R2　(行3を-1/2倍して行2に足したものを新たな行2とする)

1 1 1 │ 2
0 1 0 │ 9/4
0 0 1 │ 3/2

R1-R3⇒R1　(行1から行3を引いて新たな行1とする)

1 1 0 │ 1/2
0 1 0 │ 9/4
0 0 1 │ 3/2

と、このように還元していきますすと最後に、

R1-R2⇒R1　(行1から行2を引いて新たな行1とする)

1 0 0 │ -7/4
0 1 0 │ 9/4
0 0 1 │ 3/2

となり、連立方程式の解、(x,y,z)=(-7/4,9/4,3/2)　が求められました。

これは、EX＝B'、つまりX＝B'ということを表していますね。

結局、記法上の違いはあるけれど、やっていることは、中学校で学ぶ連立方程式の加減法に似たようなもので、より機械的な方法(アルゴリズムが確立した方法)でやろうということです。この例題では使いませんでしたが，行の交換という操作もあるので気をつけてください。

参考サイト、

http://www.mathportal.org/algebra/solving-system-of-linear-equations/row-reduction-method.php

ガウスの消去法
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%81%AE%E6%B6%88%E5%8E%BB%E6%B3%95

参考動画　英語で申しわけないですが、なんとなく分かると思います。

基本的(2×2行列)1'40"あたりから、(3×3行列)5'40"あたりから。
Row Reducing a Matrix - Systems of Linear Equations - Part 1
https://www.youtube.com/watch?v=9LYVi-n-6Jw

続き
Row Reducing a Matrix - Systems of Linear Equations - Part 2
https://www.youtube.com/watch?v=cPIcBbh6qoo

別のもの
https://www.youtube.com/watch?v=0-feBnP7q_k