数学の、平面図形の問題です。

質問

下の図の三角形ABCにおいて、点DはBCの中点で、点EはADの中点である。このとき、四角形EDCFと三角形ABCの面積の比をもっとも簡単な整数の比で表しなさい。（解説もよろしくお願いします）

回答No.2

info222_ · ベストアンサー

チェバの定理より
1/1*1/2*CF/AF=1,
1/1*(CF+AF)/AF*EF/BE=1
これらから
CF/AF=2, BE/EF=3

△CDE=△BCE*(CD/BC)=(1/2)△BCE=(1/2)△ABC*(DE/AD)=(1/2)(1/2)△ABC
=(1/4)△ABC

△CEF=△ACE*(CF/AC)=△ACE*(CF/(AF+CF))=△ACE*(2/(1+2))=(2/3)△ACE
=(2/3)△ABC*(EF/BF)=(2/3)△ABC*(EF/(BE+EF))
=(2/3)△ABC*(1/(3+1))=(2/3)(1/4)△ABC=(1/6)△ABC

四角形EDCF=△CDE+△CEF={(1/4)+(1/6)}△ABC=(5/12)△ABC
(答)　四角形EDCF：△ABC=5：12

参考URL：

http://yosshy.sansu.org/theorem/ceva_mene.htm

お礼

メネラウスの定理ですね、どうも有り難うございました。

回答No.3

info222_

No.2です。

ANo.2の定理の訂正です。
一行目
誤：チェバの定理より
正：メネラウスの定理より

以上、失礼しました。

回答No.1

wezard733

メネラウスの定理よりAF:FCは1:2なので、△AEFの面積を1とした時、
△AEC=(3/1)×△AEF=3
となります。
また、AE:ED=1:1なので、
△ADC=(2/1)×△AEC=6
となります。
次に、BD:DC=1:1なので、
△ABC=(2/1)×△ADC=12
となります。
ここで四角形EDCFは
(四角形EDCF)=△ADC-△AEF=6-1=5
であるので、求める面積比は
△ABC:(四角形EDCF)=12:5
となります。

お礼

どうも有り難うございました。