∫(sinｘ)^ndxはどのような過程を経ますか？

質問

微分の方は知っているんですが、∫(sinｘ)^ndxはどのような過程を経てどのようになるんですか？
普通に｛1/(n+1)｝・｛(sinｘ)^(n+1)｝+C
ってなるんですか？
でもこれでは微分の方に元通りになりません（微積は公式にてともに元通りになる関係がありますよね？）。

回答No.2

rnakamra · ベストアンサー

nが自然数としてお答えします。
この計算はnが奇数か偶数かで必要な手間が異なる。

nが奇数の場合は結構楽。n=2k+1とする。

t=cosxとおく。(t=sinxではない。理由は計算過程ですぐにわかる。)
(sinx)^(2k+1)=(sinx)*{(sinx)^2}^k=(sinx){1-(cosx)^2}^k
となる。
ここでsinx=-(cosx)'であることを使い置換積分する。
∫(sinｘ)^ndx=∫{1-(cosx)^2}^k -(cosx)'dx=-∫(1-t^2)^k dt
あとは(1-t^2)^kを展開して積分すればよい。

nが偶数の場合は面倒ですね。
(sinx)^n=(sinx)(sinx)^(n-1)として部分積分をしてみるとよいでしょうか。
すると得られた式の中に∫(sinｘ)^ndxがもう一度現れますのでそれを∫(sinｘ)^ndxについて解くと∫(sinｘ)^ndxと∫(sinｘ)^(n-2)dxの漸化式が得られます。これで次数を下げていくことになるでしょう。

高校数学の範囲を逸脱しますが
sinx={e^(ix)-e^(-ix)}/(2i)
の関係式と2項定理を用いて計算する方法もあります。
この式から(sinx)^nをsin(nx),sin{(n-2)x},...の線形結合として表し計算します。
この方法で計算すると結構シンプルな形に落ち着くはずです。
(以前計算した時には(sinx)^6でも5分とかからずに計算できました)

お礼

ありがとうございます(^^♪
奇数・偶数かで物凄く複雑な感じになってしまうんですね(^^ゞ

回答No.1

spring135

下記のurlに結果が出ていますが、漸化式に従って指数を下げていく形の解が得られています。

この漸化式は部分積分または置換積分によって導かれますが、しんどいばかりであまり面白くないので

自分で追求したことはありません。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92%E9%96%A2%E6%95%B0%E3%81%AE%E5%8E%9F%E5%A7%8B%E9%96%A2%E6%95%B0%E3%81%AE%E4%B8%80%E8%A6%A7

お礼

ありがとうございます(^^♪
物凄く複雑な感じになってしまうんですね(^^ゞ
｛(sinｘ)^n｝’の結果を積分すると元に戻るんですよね？