数式の計算過程について。

質問

1/2=1-[364!/{364-(n-1)}!] / 365^ (n-1) 上記の数式の計算過程がわかりません。。 詳しい方いらっしゃいましたら、式を展開していただけたらありがたいです。 宜しくお願い致します。

回答No.3

178-tall

>1/2=1-[364!/{364-(n-1)}!]/365^(n-1) … …
>n=23の時0.5073となるのですが、n=○○となるまでの計算過程がわかりません。

まず右辺を勘定。
364!/{364-(n-1)}! = 364*363* .... *(365-n) らしいので、
　n = 1 にて、364!/364! = 1　　　　365^(0) で割れば 1/365
　n = 2 にて、364!/363! = 364　　365^(1) で割れば 364/365
　n = 3 にて、364!/362! = 364*363　　　365^(2) で割れば (364/365)*(363/365)
　　… …
　n にて、364!/{364-(n-1)}!
　　　　　　　= 364*(364-1)* .... *(364-m+1)　　　365^(m-1) で割れば (364/365)*{(364-1)/365}* .... *{(365-m+1)/365}
…という勘定かな？

スプレッドシート上で試算すると、
　n　　　(364-n+1)/365　　　Πn
　---　　 -----------　　　---
　 1　　　=364/365 (q1)　　 =q1
　 2　　　=363/365 (q2)　　 =q1*q2
　 3　　　=362/365 (q3)　　 =q2*q3
　　… …
　22　　　=343/365 (q22)　　=q21*q22 = 0.4927 ...
… と、ここで右辺が 1 - Πn = 0.5073 ... になるらしい。

回答No.2

nag0720

＞この過程は、計算機等を使用しなければ解けないものなのでしょうか？

たぶん無理でしょう。
時間と根気があれば手計算でもできなくはないでしょうが。

階乗は特殊な関数です。
階乗の定義域を実数まで拡張したものにガンマ関数があります。
このガンマ関数を駆使すれば、もしかしたら求めることができるかもしれませんが、その場合でも手計算では無理かもしれません。

回答No.1

nag0720

右辺の式はこれ以上は簡単にはならないし展開もできません。

ｎを求めたいのなら、計算機を使うなりしてnに適当な値をいれて計算してみるしかないでしょう。

ちなみ、
A[n]＝[364!/{364-(n-1)}!] / 365^(n-1)
とおけば、
A[n+1]＝A[n]*(365-n)/365
なので、
A[n]は、1＜n≦365の範囲では単調減少。
つまり、右辺の　1－A[n]　は単調増加で、
n=22のとき、0.4757
n=23のとき、0.5073
となっています。

補足

早速の回答ありがとうございます。
ご指摘の通り、n=23の時0.5073となるのですが、n=○○となるまでの計算過程がわかりません。
質問が下手で失礼致しました。
この過程は、計算機等を使用しなければ解けないものなのでしょうか？