積分（高校）

質問

an=∫(0≦x≦π/2)(sinx)^ndx(n=0,1,2,…)とするとき、
(1)an=∫(0≦x≦π/2)(sinx)^ndx(n=2,3,4,…)を求めよ。

についてです。
これを計算していくと、an={(n-1)/n}a(n-2)という数列になります。n=2,3,4,…ということなので、
an=(n-1)/n・(n-3)/(n-2)・(n-5)/(n-4)・…・1/2・a0とし、a0を求めればいいのではないかと思うのですが、解答では n の偶奇によって場合分けをしています。
なぜこうなるのか、発想を教えて下さい。
実際どういう理由で偶数と奇数に分けようと思いつくのでしょうか？
そして、どういう意味があるのですか？

回答No.1

R_Earl · ベストアンサー

an={(n-1)/n}a(n-2)
漸化式はこういう式です。
仮にa0=2とします。
それでは、あなたは

an={(n-1)/n}a(n-2)
a0=2

この二つの式からa1を求められますか？
恐らく無理でしょう。しかしa2は求められますよね？

今度はa1=3と仮定しましょう。すると

an={(n-1)/n}a(n-2)
a1=3

となります。この二つの式からa2を求めることはできますか？
これも無理です。しかしa3は計算できます。
同じように、上の漸化式のnに、適当な値を入れて実験して下さい。
そうすると

（１）nに奇数を代入すると、anの奇数の項しか求められない。
（２）nが偶数を代入すると、anの偶数の項しか求められない。

ということが分かると思います。

結局an={(n-1)/n}a(n-2)の式は、
『an-2を使ってanを求める』式となっているため、
『anとan+1に規則性がなくてもOK』なんです。
anとan+2の間に規則性があれば良いという漸化式ですから。
an-2とanのみに関係があるので、
n = 0,2,4,6,……のan（つまりnが偶数）には、お互いに規則性があり、
n = 1,3,5,7,……のan（つまりnが奇数）には、お互いに規則性があります。
しかし『nが奇数の場合のan』と、『nが偶数の場合のan』の間には
関係がありません。
よって、anは偶数と奇数とで分ける必要があります。

簡単な例を挙げてみると
an+2 = 4×an
a1 = 3
a2 = 1
でしょうか。これは公比2の等比数列ではありません。
これも、nが奇数と偶数とで場合分けしないと解けない数列です。

お礼

回答ありがとうございます！　なんだかとてもわかってきたように思います。an={(n-1)/n}a(n-2) のようなひとつ飛ばしの（？）式を見つけたときには、そのように疑えばいいのでしょうか…。

回答No.3

oyaoya65

＞なぜこうなるのか、発想を教えて下さい。
＞実際どういう理由で偶数と奇数に分けようと思いつくのでしょうか？
＞そして、どういう意味があるのですか？

少なくてもn=0,1,2,3,4,5位まで積分してみましたか？
そうすればその意味が分かると思います。
積分をして見えないから、偶数、奇数で分ける発想や理由や意味がお分かりにならないのだと思いますがいかがでしょうか？

n=偶数の場合は
an = π*(有理数)となります。
n=奇数の場合は
an = (有理数)となります。

この違いは
１）n = 2m(偶数)の場合
不定積分に定数項Kが現れるため不定積分に
Kxの項が出て積分anにπが現れますね。
定数項は偶数乗で発生するのは以下の式から分かります。
(sin x)^2 =(1/2)-(1/2)cos 2x

２）n = 2m-1(奇数)の場合
(sin x)^(2m-1)=(sin x){1-(cos x)^2}^(m-1)
この場合は定数項は発生しません。
したがって積分anにπは現れません。

１）と２）の被積分関数のタイプの違いから場合わけの必要性が出てくるわけです。

お礼

回答ありがとうございます。積分してみようとがんばってみました。しかし困ったことに苦手で進まないので、回答してくださったものを読みました。なぜπが出てくるのかっていうことが興味深いです。

回答No.2

R_Earl

訂正です。

訂正箇所
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『anとan+1に規則性がなくてもOK』なんです。
anとan+2の間に規則性があれば良いという漸化式ですから。
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↓　訂正
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『anとan-1に規則性がなくてもOK』なんです。
anとan-2の間に規則性があれば良いという漸化式ですから。
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お礼

ご丁寧にありがとうございます…！