三角関数の入った式の極限値

質問

下に書いた式の極限値を求める方法を教えてください。

lim x→0 (tanx-sinx)/x^3

xが3乗になっていて難しくてわかりません。
よろしくお願いします。

回答No.2

Mr_Holland · ベストアンサー

三角関数の半角の公式や倍角の公式を利用して　sin(t)/t　→ 1 (t→0) の形を作ります。

　極限の引数の式を変形します。

　{tan(x)-sin(x)}/x^3
=tan(x){1-cos(x)}/x^3
=sin(x)/cos(x) 2{sin(x/2)}^2 /x^3　　　　←半角の公式　{sin(x/2)}^2={1-cos(x)}/2 を利用。
=2sin(x/2)cos(x/2)/cos(x) 2{sin(x/2)}^2 /x^3　　←倍角の公式　sin(x)=2sin(x/2)cos(x/2) を利用。
=4cos(x/2)/cos(x) {sin(x/2)}^3/x^3
=(1/2)cos(x/2)/cos(x) {sin(x/2)/(x/2)}^3
=(1/2)cos(t)/cos(2t) {sin(t)/t}^3　　　　←　t=x/2 で置換。

　従って、x→0 での極限は　t→0 での極限になりますので、次のようになります。

　(与式)
=lim[t→0] (1/2)cos(t)/cos(2t) {sin(t)/t}^3
=(1/2) 1/1 ×1^3 （∵　t→0 で cos(t)→0, cos(2t)→0, sin(t)/t→1　）
=1/2

お礼

すごいです。
まさか倍角公式や半角公式を使うとは思いませんでした。
やはり2行3行の途中式ですらすらと解ける問題ではないのですね。
もっと問題を解いてみようと思います。
ありがとうございました。

回答No.3

alice_44

tan と sin をテイラー展開すれば、
式をこねくりまわさずに済みます。

tan x = x + (2/6)x^3 + T,　lim[x→0] T/x^3 = 0.
sin x = x - (1/6)x^3 + S,　lim[x→0] S/x^3 = 0.
より、
lim[x→0] { (tan x) - (sin x) } / x^3
= lim[x→0] { 1/2 + T/x^3 - S/x^3 }

お礼

回答ありがとうございます。
テイラー展開なんていうものがあるのですか！
高校生なので聞いたこともありませんでした。
また質問をするときもよろしくお願いします。

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。

＞xが3乗になっていて難しくてわかりません。
見慣れていなくて、難しく感じているのだと思います。

三角関数の極限といえば、sin(x)/xの極限がありますよね。
まずは、それが使えないか考えてみては？

・x→ 0の極限なので、x^3は分母のままでよさそうですね。
（もし、x→ ∞を考えるようなときには、1/x＝ tとでも置き換えて t→ 0の極限を考えるようにします）

・あとは、sin(x)が分子に現れるように、こねくりまわしましょう。＾＾
sin(x)/xの形を意識すれば、そんなに難しい変形にはならないですよ。
ちなみに、この方針（sin(x)/xを使う）で計算できます。

お礼

sin(x)/xの形を使った式にならず、困っていました。
でも∞のときは逆数を使うことなど参考になりました。
ありがとうございました。