変位、速度、加速度の関係

質問

初期位相が与えられた場合の自由振動は
x(t)=Acos(wt)と書ける
この場合の変位、速度、加速度のグラフの概形と
開始時、1/4周期、1/2周期の現象を定性的に説明をお願いします

回答No.2

spring135 · ベストアンサー

初期位相φが与えられたとき変位は

x(t)=Acos(wt+φ)

で与えられる。問題ではφ=0に設定されている値解釈する。

速度v(t)、加速度a(t)は変位x(t)を順次時間で微分すればよい。

x(t)=Acos(wt)

v(t)=d[x(t)]/dt=-Aw・sin(wt)

a(t)=d^2[x(t)]/dt^2=d[v(t)]/dt=-Aw^2・cos(wt)=-w^2x(t)

振動数fまたは周期Tを用いるとwは

w=2πf=2π/Tと書ける。Tを用いてx(t),v(t),a(t)を書きなおすと

x(t)=Acos(2πt/T)　　　　　　　　(1)

v(t)=-A(2π/T)sin(2πt/T) (2)

a(t)=-A(2π/T)^2・cos(2πt/T) (3)

1周期経った後の時間をt'であらわすと、つまりt=T+t'

x(t)=Acos(2π+2πt'/T)=Acos(2πt'/T)

v(t)=-A(2π/T)sin(2π+2πt'/T)=-A(2π/T)sin(2πt'/T)

a(t)=-A(2π/T)^2・cos(2π+2πt'/T)=-A(2π/T)^2・cos(2πt'/T)

つまりx(t),v(t),a(t)は周期T（秒）後は初めの状態に戻る。これは周期運動の大きな特徴である。

横軸に時間tをとり縦軸にx(t),v(t),a(t)をとったグラフはいずれもt=Tごとに同じ変化を繰り返す。

このようなグラフを書くにあたっては

t=0,t=T/4,t=T/2,t=3T/4,t=Tの値を計算してプロットし、滑らかな曲線でつなげばよい。

x(0)=A, v(0)=0, a(0)=-A(2π/T)^2

v(T/4)=Acos(π/2)=0, v(T/4)=-A(2π/T)sin(π/2)=-A(2π/T), a(T/4)=0

.....

となる。

さらに正確にはt=T/12,t=T/8,t=T/6.....

におけるx(t),v(t),a(t)を計算すればよい。

時間をかけてx(t),v(t),a(t)のグラフを考えることは十分有意義である。

お礼

分かりやすい回答ありがとうございます

回答No.1

Tann3

何が分からないのですか？　基本の「キ」ですよ。

　「変位」は、お書きの式そのものです。

　「速度」は、その「変位」を時間ｔで微分すればよいだけです。cosを微分すると「-sin」になりますね。

　「加速度」は、その「速度」をさらに時間ｔで微分すればよいだけです。「-sin」を微分すると「-cos」になりますね。

＞開始時、1/4周期、1/2周期

　sin、cosの「周期」が分かれば、その1/4、1/2ということです。
　「1周期」が「２パイ＝360°」なので、1/4周期は「（1/2）パイ＝90°」、1/2周期は「（1/4）パイ＝180°」ですね（パイは円周率です）

　こういったことが分からないなら、「三角関数」からしっかり復習してください。三角関数が分からなければ、波動、振動の理解は少し無理かもしれません。

お礼

ありがとうございました
教えていただいた通りにやってみます