極限を調べよの±∞の和差積商不定形についてのまとめ

質問

（数III）。

（1）±∞±ｋ（ｋは定数）＝±∞。
（2）±∞×±ｋ（ｋは定数）＝±∞。
（3）±ｋ÷±∞（ｋは定数）＝０
（４）∞－∞と0/0の不定形は必ず式変形が必要。

とまとめましたが合っていますか？

回答No.1

f272 · ベストアンサー

(4)は必ず式変形が必要とは思えない。ケースバイケースだろう。

お礼

ありがとうございます。
やっぱ、そう単純には行かないわけですか。
それを踏まえた上で高校数学では今の所必ずと覚えておきます。

補足

極限を調べよにて
（1）±∞±ｋ（ｋは定数）＝±∞。
（2）±∞×±ｋ（ｋは定数）＝±∞。
（３）±∞×０＝０
（４）±ｋ÷±∞（ｋは定数）＝０
（５） ±∞/ｋ＝（ｋは定数）±∞
（６）∞－∞と0/0の不定形は必ず（数IIIでは）式変形が必要。
としたら数III内で全て網羅出来ている感がありますね。

回答No.7

tmpname

> でもその場合は暗黙の了解？で考えないとするとしたら乗り越えれそう？

問題になるのは大抵そういう「反例的な場合」で、考えなければいけないのもそういう場合ですけどね...

お礼

ありがとうございます。
そうなんでしょうけど。
自分頭が良くないので出来るだけ端的に分かりやすくして貰うと助かります。
極限を調べよの±∞の和差積商不定形についてのまとめ（数III）。。
（1）±∞±ｋ＝±∞（ｋは定数）。
（2）±∞×±ｋ＝±∞（ｋは定数）。
（３）±∞×０＝０。
（４）±ｋ÷±∞＝０（ｋは定数）。
（５） ±∞/ｋ＝±∞（ｋは定数）。
（６）±∞∓∞と±∞/±∞と0/0の不定形は必ず式変形が必要。
の反例とはどういう事ですか？

補足

質問での(３)は不定形と分かりました。
極限を調べよの±∞の和差積商不定形についてのまとめ（数III）。
（1）±∞±ｋ＝±∞（ｋは定数）。
（2）±∞×±ｋ＝±∞（ｋは定数）。
（３）±ｋ÷±∞＝０（ｋは定数）。
（４） ±∞/ｋ＝±∞（ｋは定数）。
（５）±∞∓∞と±∞/±∞と0/0 と±∞×０の不定形は必ず式変形が必要。
で反例はありますか？

回答No.6

kmee

±∞×±ｋ（ｋは定数）＝±∞。
↓
+∞×+ｋ＝+∞
+∞×+ｋ＝-∞
+∞×-ｋ＝+∞
+∞×-ｋ＝-∞
-∞×+ｋ＝+∞
-∞×+ｋ＝-∞
-∞×-ｋ＝+∞
-∞×-ｋ＝-∞
のどれですか?

お礼

ありがとうございました。
自分頭は良くないんですが・・、これは分かります。
+∞×+ｋ＝+∞
+∞×-ｋ＝-∞
-∞×+ｋ＝+∞
-∞×-ｋ＝-∞
です。

補足

今分かったような気がしますが、tmpname さんは ±∞/ｋ＝±∞（ｋは定数でｋ≠0）のｋ≠0をつけないといけないといっているわけですね。

回答No.5

tmpname

A. a_n = n^2, b_n = 1/n
B. a_n = n, b_n = 1/n
C. a_n = n, b_n = n * ((-1)^n)

Cは間違えた。 a_n = n, b_n =(1/n) * ((-1)^n)です。

n^2は「nの2乗」の意味です。念の為

> A、0 B、0 C、∞ ですかね。
Cは例を訂正しました。A, Bはどちらも当たってない。例えばAの場合 (a_n) * (b_n) = nでしょう？因みにいずれも「∞ * 0」の形になっているのはいいですか？

> anやbnが出てくるとはどういう事ですか？
a_nは+∞に発散、 b_nは0に収束するので a_n / b_nの極限を考えると「∞/0（定数）」の形になっているのはいいですか？（実数/0というのは定義できないので、b_n が常に0という例を考えるのは意味がない）。で、この例の場合、a_n / b_nの極限を考える（∞/0（定数）のパターン）とどうなりますか？という話。

お礼

ありがとうございます。
そういう反例的な所があるという理解で、でもその場合は暗黙の了解？で考えないとするとしたら乗り越えれそう？という理解です。。。
自分、思考力は雑魚ですので（汗）

補足

極限を調べよの±∞の和差積商不定形についてのまとめ（数III）。
（1）±∞±ｋ＝±∞（ｋは定数）。
（2）±∞×±ｋ＝±∞（ｋは定数）。
（３）±∞×０＝０。
（４）±ｋ÷±∞＝０（ｋは定数）。
（５） ±∞/ｋ＝±∞（ｋは定数）。
（６）±∞∓∞と±∞/±∞と0/0の不定形は（高校数学では）必ず式変形が必要。
これで完成ですかね。

回答No.4

tmpname

±∞/ｋ＝（ｋは定数）±∞

これも注意が必要。a_n = n, b_n = ((-1)^n) / nのような場合を考えると、これは+∞に発散するわけでも-∞に発散するわけでもない。

お礼

ありがとうございます。
anやbnが出てくるとはどういう事ですか？kは定数としか捉えれないんですが・・。

補足

そういえば±∞/±∞も不定形でしたね。

回答No.3

tmpname

> ±∞×０＝０

そうでもない。
A. a_n = n^2, b_n = 1/n
B. a_n = n, b_n = 1/n
C. a_n = n, b_n = n * ((-1)^n)

の時、それぞれlim_(n→∞) ((a_n) * (b_n))を考えるとどうなりますか

お礼

ありがとうございます。
A、0
B、0
C、∞
ですかね。

補足

±∞∓∞は不定形ですね。

回答No.2

tmpname

(2) k=0の時を考えよ

お礼

確かにそうでした。
（1）±∞±ｋ（ｋは定数）＝±∞。
（2）±∞×±ｋ（ｋは定数）＝±∞。
（３）±∞×０＝０
（４）±ｋ÷±∞（ｋは定数）＝０
（５） ±∞/ｋ＝（ｋは定数）±∞
（６）∞－∞と0/0の不定形は必ず式変形が必要。

補足

ありがとうございます。