倍数の和差積商

質問

M(n)で自然数nの倍数をあらわすとして、

(1)自然数nとmが互いに素で、M(n)>M(m)の時。
M(n)+M(m)、M(n)-M(m)、M(n)*M(m)、M(n)/M(m)
の4つは何の自然数の倍数になるのかを答えてください。
できれば理由も教えてください。(高校生に分かるような知識で)
どのような倍数になるかわからないという答えでもよいです。
自分の予想では、M(n)*M(m)の時、nとmの最小公倍数の倍数になる。
それ以外は、どのような倍数になるかわからないです。

(2)自然数nとmが互いに素でないで、M(n)>M(m)の時。
M(n)+M(m)、M(n)-M(m)、M(n)*M(m)、M(n)/M(m)
の4つは何の自然数の倍数になるのかを答えてください。
できれば理由も教えてください。(高校生に分かるような知識で)
どのような倍数になるかわからないという答えでもよいです。
自分の予想は、M(n)+M(m)とM(n)-M(m)はnとmの最大公約数の倍数になる。
M(n)*M(m)はnとmとのうち小さい方の倍数になるです。

疑問の出どころとなった問題は、
2450^n-1370^n+1150^n-250^n・・・(☆)は1980で割り切れることを証明せよ。といった問題で、
2450^n-1370^n=
(2450-1370){2450^(n-1)+2450^(n-2)*1370^1+2450^(n-3)*1370^2・・・+2450^1*1370^(n-2)+1370^(n-1)}
=M(1080)
同様にして、1150^n-250^n=M(900)より、(☆)はM(1080)+M(900)よって1080と900の最大公約数180の倍数になる。
また、2450^n-250^n=M(2200)、1150^n-1370^n=-M(220)(☆)はM(2200)-M(220)よって、(☆)はM(220)
以上から(☆)は180と220の最小公倍数の1980の倍数となる。　という解答でした。
どなたかお返事よろしくお願いします。

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato） · ベストアンサー

(1)自然数nとmが互いに素のとき
M(n)+M(m)、M(n)-M(m) → 整数ではあるが、とくに何かの倍数になるとは限らない
M(n)*M(m) → nの倍数かつmの倍数となる。さらにn*m の倍数ともいえる
[整数a,bを用いてM(n) = n*a , M(m) = m*b と表され、このとき M(n)*M(m) = (n*m) * (a*b) となるためnの倍数かつmの倍数、さらに n*m の倍数といえる]
M(n)/M(m) → 整数にならないこともある

(2)自然数nとmが互いに素でないとき
M(n)+M(m)、M(n)-M(m) → nとmの最大公約数の整数倍となる
[ nとmの最大公約数を g とおくと、整数 a , b を用いて M(n) = g*a , M(m) = g*b と表されるので M(n)+M(m) = g*(a+b) , M(n)-M(m) = g*(a-b) と表される]
M(n)*M(m) → nの倍数かつmの倍数となる。さらにn*m の倍数ともいえる ※(1)と同じ
M(n)/M(m) → 整数にならないこともある

(☆)が1980で割り切れることの証明については：

2450^n-1370^n
= (2450-1370){2450^(n-1)+2450^(n-2)*1370^1+2450^(n-3)*1370^2・・・+2450^1*1370^(n-2)+1370^(n-1)} ( → 「x^n - y^n」の因数分解)
= 1080 * (整数)
= 180 * 6 * (整数)
= 180 * (整数)
同様にして
1150^n-250^n
= (1150 - 250) * (整数)
= 900 * (整数)
= 180 * 5 * (整数)
= 180 * (整数)
よって (☆) 全体が 180 の整数倍といえる。 … (A)

同様に
2450^n-250^n
= (2450 - 250) * (整数)
= 2200 * (整数)
= 220 * 10 * (整数)
= 220 * (整数)
1150^n-1370^n
= (1150 - 1370) * (整数)
= (-220) * (整数)
= 220 * (-1) * (整数)
= 220 * (整数)
よって (☆) 全体が 220 の整数倍といえる。 … (B)

以上 (A) (B) より (☆) 全体は180の整数倍かつ220の整数倍であり、
180 = 9 * 20
220 = 11 * 20
より
(☆) 全体は 9*11*20 = 1980 の整数倍といえる。

という説明になります。

お礼

なぜその倍数になるかの説明をしてくれて、ありがとうございます。