※ ChatGPTを利用し、要約された質問です（原文：倍数の和差積商）
倍数の和差積商
このQ&Aのポイント
自然数nとmが互いに素で、M(n)>M(m)の時、M(n)+M(m)、M(n)-M(m)、M(n)*M(m)、M(n)/M(m)の4つは何の自然数の倍数になるのかを答えてください。
自然数nとmが互いに素でないで、M(n)>M(m)の時、M(n)+M(m)、M(n)-M(m)、M(n)*M(m)、M(n)/M(m)の4つは何の自然数の倍数になるのかを答えてください。
2450^n-1370^n+1150^n-250^nは1980で割り切れることを証明せよ。
M(n)で自然数nの倍数をあらわすとして、
(1)自然数nとmが互いに素で、M(n)>M(m)の時。
M(n)+M(m)、M(n)-M(m)、M(n)*M(m)、M(n)/M(m)
の4つは何の自然数の倍数になるのかを答えてください。
できれば理由も教えてください。(高校生に分かるような知識で)
どのような倍数になるかわからないという答えでもよいです。
自分の予想では、M(n)*M(m)の時、nとmの最小公倍数の倍数になる。
それ以外は、どのような倍数になるかわからないです。
(2)自然数nとmが互いに素でないで、M(n)>M(m)の時。
M(n)+M(m)、M(n)-M(m)、M(n)*M(m)、M(n)/M(m)
の4つは何の自然数の倍数になるのかを答えてください。
できれば理由も教えてください。(高校生に分かるような知識で)
どのような倍数になるかわからないという答えでもよいです。
自分の予想は、M(n)+M(m)とM(n)-M(m)はnとmの最大公約数の倍数になる。
M(n)*M(m)はnとmとのうち小さい方の倍数になるです。
疑問の出どころとなった問題は、
2450^n-1370^n+1150^n-250^n・・・(☆)は1980で割り切れることを証明せよ。といった問題で、
2450^n-1370^n=
(2450-1370){2450^(n-1)+2450^(n-2)*1370^1+2450^(n-3)*1370^2・・・+2450^1*1370^(n-2)+1370^(n-1)}
=M(1080)
同様にして、1150^n-250^n=M(900)より、(☆)はM(1080)+M(900)よって1080と900の最大公約数180の倍数になる。
また、2450^n-250^n=M(2200)、1150^n-1370^n=-M(220)(☆)はM(2200)-M(220)よって、(☆)はM(220)
以上から(☆)は180と220の最小公倍数の1980の倍数となる。 という解答でした。
どなたかお返事よろしくお願いします。
お礼
なぜその倍数になるかの説明をしてくれて、ありがとうございます。