「力のつりあい」はベクトル量でなくスカラー量？

質問

画像の図の力のつりあいにて、
P＝P０+ρSg
となってますが、「力」ではなく「力のつりあい」ならベクトルは関係無いんですか？

回答No.4

Tann3 · ベストアンサー

「圧力」は、「面に垂直な力」です。「面」を考えずに「圧力」は存在しません。「風船」を考えれば、表面の全ての垂直方向に「圧力」が働いています。
　「圧力のつりあい」は、あくまで「その面」についてのつりあいであり、「その面に垂直なベクトル」と考えれば「ベクトル」です。

　図でいえば、Sという平面は、水面に平行な面である必要はありません。船の底のように、垂直でも斜めでもかまいません。
　その平面の深さ h の位置の圧力が

　　　P＝P０+ρ*h*g

ということです。考える「面」によって方向が変わります。

　たとえば、水面に垂直な面を考えて、上端が深さ h1 、下端が深さ h2 、幅が W であれば、

　　上端の圧力　P1 = P０+ρ*h1*g
　　下端の圧力　P2 = P０+ρ*h2*g
　　平均の圧力　Pa = P０+ρ* [(h2 + h1)/2] *g

で、この面に働く力は、

　　　F = W * (h2 - h1 ) * Pa

の「横向き」になります。（考えている「水面に垂直な面」の垂直な方向である、水平方向）

　水没して、まだ中が空気である自動車で、ドアが水圧で開かずに脱出できない、というのは、こういうことです。

お礼

ありがとうございます。
物理・数学はどんなベクトル方向同士でも等号が成り立つようですね。

補足

ありがとうございます。
物理・数学では下向きと上向きの複合した辺の等号先が横向きになる場合もあるんですね。

回答No.7

noname#212313

複数の力が合わさった合力がゼロになるのが、力の釣り合いですね。力は原則としてベクトルとして扱いますから、合力もベクトルです。合力がゼロという状態も、ゼロベクトルなどと呼んで、大きさがゼロのベクトルとして扱います。大きさがゼロなので向きが定義できないんですけど、足し算・引き算では単位を合わせるように、ベクトルの足し算・引き算はベクトルだと考えます。

　しかし、力の方向が向きはともかく、一直線上にあるのなら、ベクトルではなくスカラーとして扱うことができます。お示しの問題では、面なのでちょっと直感的に分かりにくいかもしれませんが、矢印が用いてあり（方向があるのはベクトルであることを示している）、矢印を平行移動すればは一直線上に重ねることができます。あるいは、四角く囲われた部分（ρS）の重心に力を集中させて考えているとしてもいいです。

>P＝Po+ρShg

　四角く囲った部分が動き出さない、つまり加速度がゼロだとすると、全ての力を足すとゼロになるはずなので、こうなっています（もし加速度aを持つなら、-ρSaという項をさらに足す必要があるが、設問にはないので割愛）。ρは密度でしょうから、体積を求めるのに必要なhを補ってあります。

　さて、この式を変形すると、

Po+ρSg－P＝0　→　Po+ρSg+(-P)＝0

とできます。全ての力を足すとゼロになる、それが力の釣り合いです。

　こうできるのは向きが一直線上に揃っているからで、向きによる影響は値の正負しかなく、ベクトルの大きさだけを考えることができます。ですので、上記の式はベクトルではない（スカラー）として計算してしまえます。ベクトルでなくなったわけではないのです。与えられた条件が都合よく、ベクトルの大きさだけで計算してよいようになっているだけなのです。

P.S.

　もしこれが例えば、摩擦のある斜面上に置かれた物体であれば、簡単な足し算・引き算ではできません。物体が滑り落ちようとする向きは斜面に沿っていますし、働いている重力の力は斜面に対して平行ではなく、傾いています。これらは、一直線上にできません。

　図示して力の向きを示すだけなら、そのままでよいです。しかし具体的に計算したいなら、斜面に平行な方向と、斜面に垂直な方向に分解して考えます。重力による力も、その二つの方向に分解します。すると、その二つの方向それぞれで働いている複数の力を一直線上で考えることができ足し算・引き算でよくなります。

　斜面に平行と垂直という分け方が大事です。その二つは直交（互いに90度になっていること）ですので、二つに分けた双方が、互いに影響しません（さらに直角三角形も出るので、ピタゴラスの定理が使える点も便利）。斜めに分けてしまうとそうはいきません。直交するように分けるからこそ、一つ一つに集中して考えることができ、計算も簡単になるのです。

お礼

ありがとうございます。
>一直線上にあるのなら、ベクトルではなくスカラーとして扱うことができます。
なんとなくこの概念を覚えてしまおうと思います。

回答No.6

teppou

物理学ではこういう場合、力のつり合いとはあまり言わないと思いますが、それは置いといて。
　この式はベクトル式ではありません。向きが反対である力の、大きさが等しいという式です。
　ベクトルの場合、等しいベクトルは重なります。
　ベクトルは向きを含んでいますので、和が０である場合打ち消し合います。
　力は、一次元（一つの方向だけ）の場合は、ベクトルもへったくれもないのですが、二次元、三次元への発展を考えて、一次元からベクトルを導入しています。しかし初等物理学の本では、わざわざベクトルの説明の後にベクトルを使っていない例もよく見かけます。
　ベクトルで考えても、大きさだけで考えてもいいのですが、どちらであるかを明確にしておかなければなりません。どちらにせよ図上で向きを判断する必要があります。

お礼

ありがとうございます。

ナルホドです。

回答No.5

中村 拓男（@tknakamuri）

〉方向が逆なのに等式が成り立つのはおかしいと思います。

言っていることがよくわかりませんが
圧力というのは正のスカラー。
圧力とそれが加わる面の方向が決まって
始めてカ(ベクトル)がきまる。

それだけです。

お礼

ありがとうございます。
圧力はスカラーだったんですか。加わる面が決まって初めてベクトルになるという概念は重要そうですね。
物理はどんなベクトル方向同士でも等号が成り立つようですね。

回答No.3

ORUKA1951

逆方向と言う事は折込済みですから、
P＝P０+ρhg・・(1)
＞方向が逆なのに等式が成り立つのはおかしいと思います。
だから逆だと
P - P０ - ρhg ＝ 0
　逆方向を加えると0になると・・・

お礼

ありがとうざいます。

納得出来ました！

補足

どうやらこの質問の式と運動方程式からベクトルの向きに関係無く等号は成り立つようですね。

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

釣り合いはベクトルです。
鉛直成分を論じているだけ。

お礼

ありがとうございます。

そんな概念があたったんでしたね。

忘れてました。

補足

どうやらこの質問の式と運動方程式からベクトルの向きに関係無く等号は成り立つようですね。

回答No.1

ORUKA1951

もちろんベクトルですよ。
方向が逆だからつりあう。

お礼

ありがとうございます。
すみません。
P＝P０+ρhg・・(1)
でした。
(1)はベクトルを省いてスカラー量として見ている訳ですか？
方向が逆なのに等式が成り立つのはおかしいと思います。

補足

どうやらこの質問の式と運動方程式からベクトルの向きに関係無く等号は成り立つようですね。