力のつり合い

質問

１つの物体の２つ以上の力F1（ベクトル量）F2、、、が同時に作用して、物体が移動も回転もしないとき、物体は釣り合っているという。この時、物体は移動しないことから力のベクトル和は０ベクトルであり、
F1+F2+,,,=０ベクトルが成り立つ((1)）
また、物体が回転しないことから、任意の回転軸のまわりの力のモーメントも釣り合っており、力のモーメント和も０である。よって、次が成り立つ。
M1+M2+,,,＝０((2)）
（疑問）
(1)について、
ある回転軸に対し、物体が回転しないときは、力の大きさ×距離[モーメント）の総和が０になりますが、その際、うまくいえませんが、距離と、力の大きさの比がきちんと取れている＝力のベクトル和は０ということでしょうか?
初学者なので、私のイメージを汲んだ上で納得のいく説明を加えていただければと思います。
(2)について、
任意の回転軸ですから、どこに、回転軸をとっても、モーメントの総和は０なのですよね、なぜそのような事が成り立つのでしょうか?教えてください。

回答No.6

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

No4です。嘘書いてしまいました。
F1十F2・・・=Oならあらゆる回転中心で
M1+M2+・・・=O
はありえますね。迂闊でした。

F1十F2・・・=O ならM1+M2+・・・
はあらゆる回転中心でで同じになります。
回転中心がr(ベクトル)ズレると
カのモーメントは (ーr)X(F1十F2+・・・・)
ズレるからです。(Xは外積)

回答No.5

久保 泰臣（@omi3_）

>(2)

物体は回転しないような力を受けている、が条件となっています。
ある軸で、モーメントの総和が0 となる＝回転させようとする力が打ち消し合う＝回転しない
が定義です。

この物体は、軸の条件が無いような任意の軸でも回転しないのですから、
軸の条件が無い＝任意の軸　でモーメントの総和が0 になる
と言っているのが(2)です。

>任意の回転軸ですから、どこに、回転軸をとっても、モーメントの総和は０なのですよね
日本語って難しいよね、なにかあるのかなぁ。
ひょっとして、冥王星の位置だったら少し変わるのかも、とイメージするのかなぁ。

命題では
物体が回転もしないとき、とあるので、、

軸の条件が無くても回転しない
＝
軸の条件が無くてもモーメントの総和が０
＝
任意の回転軸でモーメントの総和が０
＝
どこに、回転軸をとっても、、モーメントの総和は０

やったー、日本語が成功したー
でもきっと、軸の条件が無くても、の文を
勝手に決めるな、なんて突っ込んでくるかも。

一般に
モーメントは、仮想でも回転軸が必要で、その軸からの距離で、M1+M2+,,,=0 が計算できます。
軸の位置が変れば、そこでまた、 M1+M2+,,,=0 が計算できます。

>(1)について、
>ある回転軸に対し、物体が回転しないときは、力の大きさ×距離[モーメント）の総和が０になりますが、

(1) は、回転を考慮せずに済んでいる条件ですよね、
　次の行に、、「また、物体が回転しないことから、」と言ってますから。
　なのになぜ、回転軸とか、モーメントとかを口にするのでしょうか？

この推敲に 3時間費やしました。　それでも突っ込まれ所満載。

tjag さんは、
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です。

回答No.4

中村 拓男（@tknakamuri）

異なる2点を作用点とする2つの力による力のモ一メント
の和は、あらゆる回転中心に対して0になることはありません。

物体(剛体)が回転をはじめないということは、その重心に対して
カのモーメントが釣り合っているということです。

回答No.3

foomufoomu

(1) てこの原理とか、シーソーの釣合とか、小学校で習いますよね。体重の違う人がシーソーで釣り合うためには、体重の重い人が支点に近いところに乗ればよい・・・っていう話です。

(2) 任意の回転軸・・・という言い方はちょっと誤解しそうです。前のシーソーの話で、釣り合っている状態から回転軸をずらすと釣り合わなくなってしまいますから。(回転軸にかかる力が移動してしまうためです。)
「任意の点を中心に考えたモーメントの総和が釣り合う」のような言い方にしましょう。

で、質問の答えですが、
この問題は、力をX,Y成分に分けて考えてもよいので、一つの方向だけ考えます。つまり、1本の棒に垂直な方向の力がかかっている状態を考えます。
ある点を中心に考えたモーメントの総和がゼロということは
p1*x1 + p2*x2 + ・・・ + pn*xn = 0
次に、ここから +d の距離にある点を中心に考えると
p1*(x1-d) + p2*(x2-d) + ・・・ + pn*(xn-d) =
p1*x1 + p2*x2 + ・・・ + pn*xn - p1*d - p2*d -・・・ - pn*d =
p1*x1 + p2*x2 + ・・・ + pn*xn - (p1+ p2+・・・+ pn)*d
平行移動しないことにより　p1+ p2+・・・+ pn = 0なので
0 + 0 * d
=0
となります。

回答No.2

noel_lapin

ちなみに、Aに左向き０．５、Bに左向き１．５、Cに右向き２の場合、棒は移動はしませんが、右まわりに回転を開始します。

回答No.1

noel_lapin

長さLの垂直の棒があって上端Aに左向き１の力が働き、下端Bにも左向き１の力が働き、棒の中央Cに右向き２の力が働いている場合を考えます。

（１）左向きの力の大きさA+B＝２と、右向きのC=2が力のつり合いになっています。したがって、棒全体としてどこかへ移動（平行移動か回転しながらなのか、いずれにせよ）はしません。

（２）棒の上端とCの間に適当に点をとり、その点まわりの回転モーメントを考えます。棒の上端からその点までの距離をD ( D < L/2 ) とすると、Aが１xD=Dで左回りの回転モーメント、Bが１ｘ（L-D)＝L-Dで右回り、Cが２ｘ（L/2 - D)=L-2Dで左回り。結局、左まわりにD + ( L-2D ) = L-D、右回りにL-Dで、回転モーメントの総和はゼロです。