実数の分類

質問

タイトルのとおり実数の分類についての質問です。
１－（ルート6）は無理数ですよね？また負の数でも
あるのでしょうか。教えてください。

回答No.1

i536 · ベストアンサー

1-√6は、無理数で、しかも負の数です。

無理数というのは分数の形に書けない数のことです。
一方、分数の形に書ける数を有理数といいます。
負の数、正の数という性質は、
無理数かどうかの判断基準とまったく関係ありません。

1-√6が無理数であることの証明は、
背理法を用いると次のようになります。
ただし、√6が無理数であることは既知であるとします。

もし1-√6が無理数でないとすると、
1-√6は２つの整数a,b>0を用いて、
下式(1)のように分数の形に必ず書けることになります。

1-√6=a/b---(1)

一方、式(1)を変形すると、次式が求まります。

√6=1-(a/b)=(b-a)/b---(2)

a,bが整数なので、b-aも整数ですから、
√6が分数の形に表せたことになり、
√6は有理数(無理数でない!)ということが導かれます。
この結果は√6が無理数である既知の事実と矛盾します。

したがって、1-√6は分数の形に表すことはできない、
すなはち、無理数ということになります。

お礼

ありがとうございます！とてもわかりやすい説明でよかったです。

回答No.2

akn1aj

まず√6が無理数であることを、通常のように背理法を使って示す。
I) √6 = p/q (p,qは互いに素な自然数）…(1)とする。｛ここで「互いに素」）がポイント、後でここで矛盾を導く。｝(1)より6 q^2 = p^2…(2)。6=2・3だからp^2 は偶数（2の倍数）でpも偶数｛pが奇数なら、p^2 も奇数となる｝。よって、p = 2 r(rは自然数)…(3)とおける。(2)へ代入し、6 q^2 = 4 r^2 で 3 q^2 = 2 r^2 …(4)。2と3は互いに素だから、qは偶数かつrは3の倍数…(5)となる。p, q 共に偶数となり、これはp,qは互いに素であることに反する。従って、√6は有理数でなく、即ち無理数である。

II)次に1- √6が無理数であることを示す。
1- √6 = m/n(m,nは互いに素な自然数とする。)…(6)と仮定。 √6 = 1- m/n…(7)。(7)で右辺は有理数、一方　√6 はI)より無理数で、これは矛盾。この矛盾は1- √6を有理数と仮定したから。従って 1- √6 は無理数。

III) 1- √6 が負であることを示す。
4 ＜6 ＜9　だから　2 ＜√6 ＜3。よって、-3 ＜- √6 ＜-2 。従って-2＜1- √6 ＜-1 で1- √6 は負。

お礼

ありがとうございます。とても詳しくかいてもらって、うれしいです。私は理屈にこだわってしまうほうなので・・・。
役にたちました！