幾何学ー標準形

質問

全然分かりません。例として
ｘ＾２＋２ｘｙ＋ｙ＾２－８ｙ＋８
という式を標準形にせよという問題があるのですが
詳しく説明していただけませんか？

回答No.5

akn1aj · ベストアンサー

まずあなたは「標準形とは何か、何故標準形にするのか」の理解が必要です。
そこに「楕円」があったとする。紙に描いてもよい。あなたが紙を動かしても（平行移動、回転）座標系を導入して解析するのはあなたの勝手で、そのことで楕円は影響を受けることはなく変わらない。つまり楕円の（本来持っている内在的）性質は「座標変換」で不変なのだ。あなたと直交する位置にA君がすわっていたとする。あなたが縦長の楕円に見えたら、A君から見ると横長の楕円に見える。楕円はそんなことにおかまいなく、つまり「観測者」にdon't care に存在する。… この認識・理解こそ、一番大切なのだ！！ だからこそ、座標系は最も簡単になるように選ぶのだ。

　詳細は「解析幾何」の本で理解を深めて欲しい。ポイント、結論を記す。
問題の２次曲面C：Ｆ(x,y)≡ｘ^2 + 2xy + y^2 - 8y +8 = 0…(1)と置く。
一般に、２次曲面G(x,y)≡aｘ^2 +2hxy + by^2 +2gx +2fy +c = 0…(2)　に対し、
a = 1, h = 1,b = 1, g = 0, f = -4, c = 8…(3)ということ。まずCは　ab - h^2 = 1-1 = 0 …(4) a/h = h/b≠g/h(つまり1 = 1 ≠0 )…(5) で無心2次曲面であることがわかる。中心はない；ということ。次に「(x, y)⇒（ξ,η）と座標変換（回転）」する。これは(4)より座標軸を tan2θ= 2h/(a - b)→∞…(6) で θ= π/4 回転すればよい。変換は、 x =ξcosθ-ηsinθ = (1/√2) (ξ-η), y =ξsinθ+ηcosθ = (1/√2) (ξ+η)…(7) となる。(1)へ代入し、C：Ｆ(x,y) = 2ξ ^2 - 4 √2ξ- 4 √2η+ 8 = 0…(8)。つまり、C：（ξ- √2）^2 = 2√2 (η-√2)… (9)。これを「（ξ,η）⇒（X, Y）と座標変換（平行移動）」する 。つまり、X = ξ- √2 , Y = η-√2 … (10) で 、(9) ⇒ 放物線 C ： X^2 = 4pY, where p = 1/√2 (= √2/2)… (11)と標準形となった。Y^2 = 4pX としたかったら、(7)で ξ,ηを入れ替えておけばよい。整理すると、
i) 座標系をπ/4 回転し{(7)}、ii)（√2, √2）が原点となるよう平行移動する{(11)}；すると問題の２次曲面（線）は放物線(11) となる。

お礼

お礼が遅くなってすみません。回答して下さり、本当にありがとうございました。

回答No.4

uyama33

座標軸を回転して
標準型にすると思います。
下の本を読んでください。

参考URL：

http://www.shokabo.co.jp/mybooks/ISBN4-7853-1102-9.htm

お礼

お礼が遅くなってすみません。回答して下さり、本当にありがとうございました。

回答No.3

ryn

> 2次曲面の問題です。
いまは，xy平面なので普通は二次曲線といいます．

適当な直交行列を用いて主軸変換しましょう．
標準形というのは
　(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1　　楕円
　(x/a)^2 - (y/b)^2 = 1　　双曲線
などです．

x,y,z の３次の場合は３次元空間上の二次曲面となり
その場合の標準形は
　(x/a)^2 + (y/b)^2 + (z/c)^2 = 1　　楕円面
　(x/a)^2 + (y/b)^2 - (z/c)^2 = 1　　一葉双曲面
　(x/a)^2 + (y/b)^2 - (z/c)^2 = -1　　二葉双曲面
などです．

お礼

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回答No.2

ryoppemag

(x+y)^2+8(1-y) ってことじゃないの？

たとえば
x^2＋2xy＋y^2-8y+8=0 の時
(x+y)^2+8(1-y)=0 となるので
x+y=0
1-y=0 となり
y=1, x=-1 になります

自信はないです

お礼

お礼が遅くなってすみません。回答して下さり、本当にありがとうございました。

回答No.1

noname#16926

数学から随分関わりが遠ざかってしまったので申し訳ありませんが、
（ｘ＋ｙ）＾２－８（ｙ－１）というようなことでしょうか
その問題の前の例題では、最終の形（標準形）がどうなっているのでしょう?

お礼

お礼が遅くなってすみません。回答して下さり、本当にありがとうございました。

補足

回答ありがとうございます。
例題はこれ以前には無く、後は練習問題に
なってしまいます。
この問題は、２次曲面Ｆ(x,y)の話のようです。