幾何学

質問

何度かこの場で質問させて頂いた問題です。そのときは丸投げしてしまい、さらに親切にも回答して頂いた方にもお礼の返事もせずに終わってしまいました。
　初めてこちらで質問して、使い方を良く理解していなかったとはいえ、丸投げという禁止事項や回答して頂いた方へのお礼の返事をしなかったことを大変申し訳なく思います。今度は十分注意していきたいと思います。

では、その問題ですが、「放物線(x-y)^2-2(x+y)+1=0の直交する二接線の交点の軌跡を求めよ」というものです。

まず、x-y=υ,x+y=γとし、2次方程式γ=υ^2/2+1/2とし、またその放物線に接する二接線の接点を(a,a^2/2+1/2),(b,b^2/2+1/2)と置き、
接線の方程式「γ=aυ-a^2/2+1/2…(1) γ=bυ-b^2/2+1/2…(2)」を求めました。

そして二接線は直交するのでab=-1よりa=-1/bとなり、これを(1)に代入しました。

あとはa=-1/bを代入した(1)の式と、(2)の式を使ってbを消去するだけだと思うのですが(1)、(2)の式の中にaとa^2があり思うようにできません。

この解き方の中で何か間違えをしているのでしょうか？教えて下さい。

回答No.1

Kules · ベストアンサー

求めたいのは交点なので、むやみに変数を増やさない方針で行きましょう。
まず、x-y=υ,x+y=γとし、2次方程式γ=υ^2/2+1/2とし、
接点の座標を(t,t^2/2+1/2)とすると接線の方程式は
y=tx-(1-t^2)/2
となります。これが(p,q)を通るとすると、
q=tp-(1-t^2)/2となり、これをtについて解くと
(p,q)を通る接線の接点がわかります。
t=p±(p^2-2q+1)^(1/2)となり、(もちろん解が２個ないといけないのでp^2-2q+1>0です)
接線の傾きはtなので、先程求めたtの解をα、βとすると
αβ＝－１となります。これを解くとq=0
求める軌跡は、q<p^2/2+1/2とq=0の共通部分、つまりq=0です。
ただしこれはあくまでもυ-γ座標でのお話なので、x-y座標に最後に変換してやる必要があります。

お礼

この質問も含めていろいろと教えていただいて、本当にありがとうございます。
回答はとても分かりやすく書いていただいて、勉強になりました。

回答No.5

kkkk2222

hirosuke02さんへ　お礼と質問と独り言

（１）寡聞/不勉強で恥ずかしいのですが
　・γ、υをＰＡＩＲにして使うのは、よくあるのでしょうか？
　・漸化式で’特性方程式’というのを使う事がありますが、先日微分方程式でよく使う事を漸く思い出しました。他の分野でも使われるのでしょうか？
　・x=(1-t^2)/(1+t^2),　y=2t/(1+t^2)と WHAT IS CALLED ピタゴラス数　x=m^2-n^2、y=2mn、r=m^2+n^2と何か関係がありそうなのですが、ピタゴラス数の証明をしりません。HOW ABOUT YOU ?

（2）お礼
・(x-y)^2-2(x+y)+1=0で貴殿のような発想はできないので
　　π/4回転して軌跡を求め-π/4回転・・・で
　　回転に関する別の疑問が解決しました（詳細は略しますが)THANX !

(3)あとは独り言です/知っているとはおもいますが
　　・’放物線の直交する二接線の交点の軌跡’は　’放物線の準線’
　　　という知識がありましたので、γ=υ^2/2+1/2を見て答だけはすぐ
　　　分かったのですが・・・
　　　　　　　　　　　　　　　ＥＯＦ、　　ＳＥＥ　ＹＯＵ

回答No.4

kkkk2222

hirosuke02さんへ
○最初読んだ感想はなんでウプシロンなの？
○解答の発想が見事！
○γ=υ^2/2+1/2が出ててその先が？
　普通は判別式利用か微分利用なのでＰＡＲＡＭＥＴＥＲ消去とは！
○（a^2があり・・・）を見て、x=(1-t^2)/(1+t^2),y=2t/(1+t^2)の話
○で、甘くみてたら消えない！！

○で、やっときがついきました
○普通は解答書くんだけど貴方のような方には失礼な気がして
　　迷いました　が
●気がついたのはγ=,γ=　となってる！・・・・・・・・・

　　　　　　　　　　　　ＴＯ　ＢＥ　　ＣＯＮＴＩＮＵＥＤ

回答No.3

age_momo

この問題に特化してなのですが、

dγ/dυ=υ

です。つまり、接点のυ座標が接線の傾きでもあります。
ということで（ｔ,t^2/2+1/2)での接線の方程式

γ=t(υ-t)+(t^2+1)/2=tυ-(t^2-1)/2

ｔ^2-2υt-1+2γ=0　・・・・・(1)

このｔの二次方程式の解はある点(γ、υ)を通り放物線γ=υ^2/2+1/2への接線を引いた時の
接点のγ座標を表します。また、それは同時に傾きも表しますので2解α、βに関して

αβ=-1+2γ=-1

を満たしていなければなりません。
ということで求める条件は

γ=0

となります。なお、(1)が2解を持つ条件

D/4=υ^2+1-2γ>0

はγ=0においてυ^2+1>0ですので実数υにおいては絶えず成り立ちます。

お礼

回答していただきましてありがとうございます。書いていただいたことに関していくつか疑問な点はありますが、これからじっくりと考えてこの回答がちゃんと理解できるようにしたいと思います。

回答No.2

take_5

求める交点をＰ(α、β)とし、点Ｐを通る接線をy＝m(x-α)+β　‥‥(1)とします。
これと、放物線：(x-y)^2-2(x+y)+1＝0が接するから、これに(1)を代入するとxの2次方程式になります。
この方程式が、重解を持つから判別式＝0です。
そこで出てくる方程式はmの2次方程式ですが、mは接線の傾きを表しますから、2つの接線が直交する事により、2つのmの積＝-1になります。
結果は、y＝-x+1/2になりました。
計算は結構煩雑なので自信がないですから、確認してください。

お礼

回答していただきありがとうございます。参考にさせていただきます。