三角形の問題

質問

（問）２つの二等辺三角形があります。両者の辺の長さは等しい。
両者の頂角の和は１８０度で、底辺の長さは３と４である。
このときの、等辺の長さは？
（何故だろう？）直感で、この２つの三角形を併せて書くと、円の内接三角形で、直角は１つできるので、ピタゴラスの定理から５であり、その半分だから２．５と答えは出たのですが、なぜ、直角になるのかが判りません。どなたか、得意な方、宜しくお願いします。

回答No.3

matelin · ベストアンサー

たぶん、余弦定理（ａ＾２＝ｂ＾２＋ｃ＾２－２ｂｃcosＡ）はまだ習っていないんでしょうね。この定理は高校で習います。それを使えば、あなたの疑問は簡単に説明できます。

余弦定理を使わない説明は、次の通りです。

あなたが書いている文
「この２つの三角形を併せて書くと、円の内接三角形で、」
の図を描いてみてください。
ここでは、図は書けませんから、言葉でその図を説明します。
そのため、２つの二等辺三角形を△ＡＢＣと△ＰＱＲとし、点Ａと点Ｐがそれぞれ頂点であるとします。そして、辺ＡＣと辺ＰＱとが接して置かれているとします。
このとき、２つの頂角が接していますね。そして問題より「両者の頂角の和は１８０度で」すから、角ＢＡＲは一直線になります。だから、線分ＢＡＲは、「この２つの三角形を併せて書くと、円の内接三角形で、」とあなたが書いているその円の直径になりますね。なので、角ＢＣＲは、その直径に対する円周角ですが、それは幾何学の定理より、直角であることは、ご存知ですか。

お礼

中２の息子の質問でした。
良く理解できました。
ありがとうございました。

回答No.4

totoro7683

すでに答えを書いてらっしゃいますが、まず頂角と頂角をくっつけてそのあと等辺と等辺を合わせます。くっつけた頂点を中心として、等辺を半径とする円を描きます。
このとき頂角同士の和は１８０度なのでくっつけたものは円の直径を１辺とする３角形になります。
そうすると円の直径を１辺とする内接３角形は常に直角３角形になります。（この事実は有名です。）

お礼

ありがとうございました。

回答No.2

Musicful-hearts

二等辺Δの頂角の大きさをそれぞれA,Bとすると
(180-A)/2+(180-B)/2
={360-(A+B)}/2
=180/2
=90°

(180-A)/2と(180-B)/2は頂角以外の角の大きさ

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

activedolphin

２等辺三角形２つの頂角の和が１８０度で円に内接してるわけですから、等辺が半径となり半径と半径が直線に並んでいる状態です。（１８０度）
それは円の直径になりますから直径を弦とする三角形の円周角は直角になりますね。

お礼

ありがとうございました。